《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

例5
已知数列$ \{a_n\} $的通项公式是$ a_n = (n + 1)·\left( \frac{10}{11} \right)^n,n \in \mathbf{N}^* $.试问该数列有没有最大项? 若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.

答案： [例5] [解] 法一：$a_{n + 1} - a_n = (n + 2) · (\frac{10}{11})^{n + 1} - (n + 1) · (\frac{10}{11})^n = \frac{(9 - n)(\frac{10}{11})^n}{11}$.
当$n ＜ 9$时，$a_{n + 1} - a_n ＞ 0$，即$a_{n + 1} ＞ a_n$；
当$n = 9$时，$a_{n + 1} - a_n = 0$，即$a_{n + 1} = a_n$；
当$n ＞ 9$时，$a_{n + 1} - a_n ＜ 0$，即$a_{n + 1} ＜ a_n$；
则$a_1 ＜ a_2 ＜ a_3 ＜ ·s ＜ a_9 = a_{10} ＞ a_{11} ＞ a_{12} ＞ ·s$，
故数列$\{ a_n \}$有最大项，为第9项和第10项，且$a_9 = a_{10} = 10 × (\frac{10}{11})^9$.
法二：根据题意，令$\begin{cases} a_{n - 1} \leq a_n, (n \geq 2, n \in \mathbf{N}^*) \\ a_n \geq a_{n + 1} \end{cases}$，
$\begin{cases} (n + 1)(\frac{10}{11})^n \leq (n + 2)(\frac{10}{11})^{n - 1} \\ (n + 1)(\frac{10}{11})^n \geq (n + 2)(\frac{10}{11})^{n + 1} \end{cases}$即
$(n + 1)(\frac{10}{11})^n \leq (n + 2)(\frac{10}{11})^{n - 1}$，$(n + 1)(\frac{10}{11})^n \geq (n + 2)(\frac{10}{11})^{n + 1}$，
得$9 \leq n \leq 10$.
又$n \in \mathbf{N}^*$，则$n = 9$或$n = 10$.故数列$\{ a_n \}$有最大项，为第9项和第10项，且$a_9 = a_{10} = 10 × (\frac{10}{11})^9$.

跟踪训练
6. 已知数列$ \{a_n\} $的通项公式为$ a_n = -2n^2 + 21n,n \in \mathbf{N}^* $,则该数列中数值最大的项是 (A)

A.第5项
B.第6项
C.第4项或第5项
D.第5项或第6项

答案： 跟踪训练 6.A $a_n = -2n^2 + 21n = -2(n - \frac{21}{4})^2 + \frac{441}{8}$，因为$n \in \mathbf{N}^*$，$5 ＜ \frac{21}{4} ＜ 6$，且$a_5 = 55$，$a_6 = 54$，所以数值最大的项为第5项.

1. 数列$ 1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},·s $的一个通项公式为$ a_n = $ (B)
A.$ \frac{(-1)^n}{n} $
B.$ \frac{(-1)^{n + 1}}{n} $
C.$ \frac{(-1)^{n + 1}}{n + 1} $
D.$ \frac{(-1)^n}{n + 1} $

答案： 1.B 数列前4项的绝对值依次为1,$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{4}$，由此得数列第n项的绝对值为$\frac{1}{n}$，而数列的奇数项为正，偶数项为负，可用$(-1)^{n + 1}$表示数列的第n项的符号，因此$a_n = \frac{(-1)^{n + 1}}{n}$.

2. 已知数列$ \{a_n\} $的一个通项公式为$ a_n = (-1)^n·2^n + a $,且$ a_1 = 1 $,则$ a_3 $等于 (B)
A.-6
B.-5
C.5
D.6

答案： 2.B 因为$a_1 = 1$，即$-2 + a = 1$，解得$a = 3$，所以$a_3 = -2^3 + 3 = -5$.

3. 在数列$ \{a_n\} $中,$ a_n = -n^2 + 11n(n \in \mathbf{N}^*) $,则此数列最大项的值是30.

答案： 答案:30
解析：因为$a_n = -n^2 + 11n = -(n - \frac{11}{2})^2 + \frac{121}{4}$($n \in \mathbf{N}^*$)，故当$n = 5$或6时，$a_n$取得最大值30.