《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

1.复合函数的概念
一般地，对于两个函数$y = f(u)$和$u = g(x)$，如果通过中间变量$u，y$可以表示成$x$的函数，那么称这个函数为函数$y = f(u)$和$u = g(x)$的复合函数，记作$y =$$f(g(x))$.

答案： 1.$f(g(x))$

2.复合函数的求导法则
一般地，对于由函数$y = f(u)$和$u = g(x)$复合而成的函数$y = f(g(x))$，它的导数与函数$y = f(u)，u = g(x)$的导数间的关系为$y_{x}^{\prime} =$$y'_u· u'_x$，即$y$对$x$的导数等于$y$对$u$的导数与$u$对$x$的导数的乘积.

答案： 2.$y'_u· u'_x$ $y$对$u$的导数与$u$对$x$的导数的乘积

[例1] 求下列函数的导数：
(1)$y = \frac{1}{(1 - 3x)^{4}}$；
(2)$y = \cos(x^{2})$；
(3)$y = \log_{2}(2x + 1)$；
(4)$y = e^{3x + 2}$.

答案： [例1] [解]
(1)令$u = 1 - 3x$，则$y = \frac{1}{u^4}= u^{-4}$，所以$y'_u = -4u^{-5}$，$u'_x = -3$，所以$y'_x = y'_u · u'_x = 12u^{-5} = \frac{12}{(1 - 3x)^5}$。
(2)令$u = x^2$，则$y = \cos u$，所以$y'_x = y'_u · u'_x = -\sin u · 2x = -2x\sin(x^2)$。
(3)设$y = \log_2 u$，$u = 2x + 1$，则$y'_x = y'_u · u'_x = \frac{2}{u\ln 2} · (2x + 1)' \ln 2$
(4)设$y = e^u$，$u = 3x + 2$，则$y'_x = (e^u)' · (3x + 2)' = 3e^u = 3e^{3x + 2}$。

▪跟踪训练▪
1.求下列函数的导数：
(1)$y = \frac{1}{\sqrt{1 - 2x}}$；
(2)$y = 5\log_{2}(1 - x)$；
(3)$y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$.

答案： 跟踪训练 1.解：
(1)$y = (1 - 2x)^{-\frac{1}{2}}$，设$y = u^{-\frac{1}{2}}$，$u = 1 - 2x$，则$y'_x = (u^{-\frac{1}{2}})'(1 - 2x)' = (-\frac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}) · (-2) = (1 - 2x)^{-\frac{3}{2}}$。
(2)函数$y = 5\log_2(1 - x)$可看作函数$y = 5\log_2 u$和$u = 1 - x$的复合函数，所以$y'_x = y'_u · u'_x = 5(\log_2 u)' · (1 - x)' = \frac{-5}{u\ln 2} = \frac{5}{(x - 1)\ln 2}$
(3)设$y = \sin u$，$u = 2x + \frac{\pi}{3}$，则$y'_x = (\sin u)'(2x + \frac{\pi}{3})' = \cos u · 2 = 2\cos(2x + \frac{\pi}{3})$。