《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

[例 2] 已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,且$a_{3}+a_{7}=10$,$S_{10}=55$.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式;
(2)若$b_{n}=2^{n}a_{n}$,求数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案： [例2][解]
(1)设数列$\{a_n\}$的公差为$d$，
则$\begin{cases}a_1+2d+a_1+6d=10,\\10a_1+45d=55,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a_1=1,\\d=1,\end{cases}$所以$a_n=n$。
(2)由
(1)得$b_n=n·2^n$，则$T_n=1×2^1+2×2^2+·s+n·2^n$，①
$2T_n=1×2^2+2×2^3+·s+n·2^{n+1}$，②
两式相减得：$-T_n=2+(2^2+2^3+·s+2^n)-n·2^{n+1}=\frac{2(2^n-1)}{2-1}-n·2^{n+1}=2^{n+1}-2-n·2^{n+1}=(1-n)2^{n+1}-2$，
所以$T_n=(n-1)2^{n+1}+2$。

跟踪训练
3. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=n^{2}+m$,且$S_{1}$,$S_{3}-2$,$S_{7}$成等比数列.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式;
(2)若$b_{n}=\frac{a_{n}}{2^{a_{n}+1}}$,求证:数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}＜\frac{5}{9}$.

答案： 跟踪训练3.
(1)解：根据题意，可得$(S_3-2)^2=S_1S_7$，即$(7+m)^2=(1+m)(49+m)$，
解得$m=0$，所以$S_n=n^2$，
当$n=1$时，$a_1=S_1=1$，
当$n\geq2$时，$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-(n-1)^2=2n-1,a_1=1=2×1-1$也符合，
故$a_n=2n-1$。
(2)证明：由
(1)的结论，可得$b_n=\frac{2n-1}{2^{2n}}=\frac{2n-1}{4^n}$，
所以$T_n=\frac{1}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{5}{4^3}+·s+\frac{2n-1}{4^n}$，
两边都乘$\frac{1}{4}$，得$\frac{1}{4}T_n=\frac{1}{4^2}+\frac{3}{4^3}+\frac{5}{4^4}+·s+\frac{2n-1}{4^{n+1}}$，
以上两式相减，可得：$\frac{3}{4}T_n=\frac{1}{4}+2(\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+·s+\frac{1}{4^n})-\frac{2n-1}{4^{n+1}}=\frac{1}{4}+\frac{\frac{1}{8}×(1-\frac{1}{4^{n-1}})}{1-\frac{1}{4}}-\frac{2n-1}{4^{n+1}}=\frac{5}{12}-(\frac{2}{4^n}+\frac{2n-1}{4^{n+1}})$，
所以$T_n=\frac{5}{9}-\frac{6n+5}{9×4^n}$，结合$\frac{6n+5}{9×4^n}＞0$，可知
数列$\{b_n\}$的前$n$项和$T_n＜\frac{5}{9}$成立。