《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

2. 函数 $y=x^3$ 在点 $(2,8)$ 处的切线方程为 (A)

A.$y=12x-16$
B.$y=12x+\log_a$
C.$y=-12x-16$
D.$y=-12x+16$

答案： 跟踪训练 2.A 因为$y^{\prime}=3x^{2}$,所以当$x = 2$时,$y^{\prime}=12$,故切线的斜率为$12$,切线方程为$y = 12x - 16$.

3. 若曲线 $y=\log_a x$ ($a＞0$, $a \neq 1$) 在点 $(1,0)$ 处的切线与直线 $x+2y-3=0$ 垂直，则 $a=$ $\sqrt{e}$.

答案： 3.答案:$\sqrt{e}$
解析:对函数$y = \log_{a}x(a＞0,a\neq1)$求导得$y^{\prime}=\frac{1}{x\ln a}$,则$y^{\prime}|_{x = 1}=\frac{1}{\ln a}$,因为直线$x + 2y - 3 = 0$的斜率为$-\frac{1}{2}$,且曲线$y = \log_{a}x(a＞0,a\neq1)$在点$(1,0)$处的切线与直线$x + 2y - 3 = 0$垂直,则$-\frac{1}{2\ln a}=-1$,可得$\ln a=\frac{1}{2}$,解得$a=\sqrt{e}$.

[例 3] 设某质点的运动方程是 $s(t)=\sin t$. 求：
(1) 该质点在 $t=\frac{\pi}{3}$ 时的速度的大小;
(2) 该质点运动的加速度方程.

答案： [例3] [解]
(1)$\because s^{\prime}(t)=\cos t$,
$\therefore s^{\prime}(\frac{\pi}{3})=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$,
即该质点在$t=\frac{\pi}{3}$的速度为$\frac{1}{2}$.
(2)设该质点运动的加速度方程为$a(t)$,
令$v(t)=s^{\prime}(t)=\cos t$,则$v^{\prime}(t)=-\sin t$,
$\therefore a(t)=v^{\prime}(t)=-\sin t$.

4. 已知①$y=f(x)$, ②$y=g(x)$, ③$y=h(x)$ 都是物体运动的路程 $y$ 关于时间 $x$ 的函数，且 $f'(x)=1$, $g'(x)=2$, $h'(x)=3$, 则运动速度最快的是 ③. (填序号)

答案： 4.答案:③
解析:由导数的几何意义知,①中,物体的瞬时速度为$1$,②中,物体的瞬时速度为$2$,③中,物体的瞬时速度为$3$,且都是匀速运动,故最快的是③.

5. 某城市近 10 年间房价年均上涨率为 10％，房价 $p$ (单位：万元) 与时间 $t$ (单位：年) 有如下函数关系：$p(t)=p_0(1+10\%)^t$，假定 $p_0=1$, 那么在第 5 个年头，房价上涨的速度大约是多少 (精确到 0.01 万元/年)？(参考数据：$1.1^5 \approx 1.611$, $\ln 1.1 \approx 0.095$)

答案： 5.解:由题意得$p^{\prime}(t)=1.1^{t}\ln 1.1$,
所以$p^{\prime}(5)=1.1^{5}\ln 1.1\approx1.611×0.095\approx0.15$(万元/年),
所以在第$5$个年头,该市房价上涨的速度大约是$0.15$万元/年.