《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

[例 4] 在无穷等差数列$\{ a_{n}\}$中，首项$a_{1} = 3$，公差$d = - 5$，依次取出序号能被$4$除余$3$的项组成数列$\{ b_{n}\}$.
(1)求$b_{1}$和$b_{2}$.
(2)求数列$\{ b_{n}\}$的通项公式.
(3)数列$\{ b_{n}\}$中的第$503$项是$\{ a_{n}\}$中的第几项？

答案： [解]
(1)$\because a_{1} = 3,d = - 5,\therefore a_{n} = 3 + (n - 1) × ( - 5) = 8 - 5n$.
数列$\{ a_{n}\}$中序号被4除余3的项是$\{ a_{n}\}$中
的第3项,第7项,第11项,$·s$,$\therefore b_{1} = a_{3} = - 7,b_{2} = a_{7} = - 27$.
(2)设数列$\{ a_{n}\}$中的第$m$项是数列$\{ b_{n}\}$中
的第$n$项,即$b_{n} = a_{m}$,则$m = 3 + 4(n - 1) = 4n - 1,\therefore b_{n} = a_{m} = a_{4n - 1} = 8 - 5 × (4n - 1) = 13 - 20n$,即数列$\{ b_{n}\}$的通项公式为$b_{n} = 13 - 20n$.
(3)$3 + 4 × (503 - 1) = 2011,·s$数列$\{ b_{n}\}$中
的第503项是数列$\{ a_{n}\}$中的第2011项.

[变条件] 有两个等差数列$2,6,10,·s,190$和$2,8,14,·s,200$，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为
(B)

A.$15$
B.$16$
C.$17$
D.$18$

答案： B易知,第一个数列的公差为4,
第二个数列的公差为6,故新数列的公差为
具有相同首项的两个数列公差的最小公倍
数,其公差为12,首项为2,
所以通项公式为$a_{n} = 12n - 10$.
所以$12n - 10 \leq 190$,解得$n \leq \frac{50}{3}$,
而$n \in N^{*}$,所以$n$的最大值为16,即这个新
数列的项数为16.

4. 设数列$\{ a_{n}\},\{ b_{n}\}$是项数相同的等差数列，若$a_{1} = 25,b_{1} = 75,a_{2} + b_{2} = 100$，则数列$\{ a_{n} + b_{n}\}$的第$37$项为
(C)

A.$1$
B.$0$
C.$100$
D.$3700$

答案： C根据题意,$a_{1} + b_{1} = 25 + 75 = 100 = a_{2} + b_{2}$,又因为数列$\{ a_{n}\},\{ b_{n}\}$是项
数相等的等差数列,所以数列
$\{ a_{n} + b_{n}\}$是常数列,所以数列$\{ a_{n} + b_{n}\}$的
第37项为100.

5. 已知数列$\{ a_{n}\},\{ b_{n}\}$是公差相等的等差数列，且$a_{n} + b_{n} = 2n + 5$，若$b_{n}$为正整数，设$c_{n} = a_{b_{n}}(n \in \mathbf{N}^{*})$，则数列$\{ c_{n}\}$的通项公式为$c_{n} =$5+n.

答案： 答案:$5 + n$
解析:设数列$\{ a_{n}\},\{ b_{n}\}$的公差为$d$,由
$a_{n} + b_{n} = a_{1} + b_{1} + 2(n - 1)d = a_{1} + b_{1} - 2d + 2nd$,可得$\begin{cases}2d = 2,\\a_{1} + b_{1} - 2d = 5,\end{cases}$解得$\begin{cases}d = 1,\\a_{1} + b_{1} = 7,\end{cases}a_{n} = a_{1} + n - 1,b_{n} = b_{1} + n - 1$,
$a_{b_{n}} = a_{b_{n} + n - 1} = a_{1} + (b_{1} + n - 1) - 1 = 7 - 2 + n = 5 + n$,所以$c_{n} = 5 + n$.

1. 数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{3} = 2,a_{n + 1} - a_{n} = 3(n \in \mathbf{N}^{*})$，则$a_{8} =$
(C)

A.$25$
B.$22$
C.$17$
D.$14$

答案： C因为数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{3} = 2,a_{n + 1} - a_{n} = 3(n \in N^{*})$,所以,数列$\{ a_{n}\}$是公差为3
的等差数列,故$a_{8} = a_{3} + 5 × 3 = 2 + 15 = 17$.

2. 在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{n} = a_{n + 1} + 2,a_{5} = 18$，则$a_{1} + a_{2} + ·s + a_{10} =$
(D)

A.$230$
B.$210$
C.$190$
D.$170$

答案： D由题知,数列$\{ a_{n}\}$是公差为$- 2$的等差
数列,数列$a_{1} + a_{2} + ·s + a_{10} = 5(a_{5} + a_{6}) = 5 × 34 = 170$.

3. (多选)若数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，公差$d ＞ 0$，则下列对数列$\{ b_{n}\}$的判断正确的是
(ABD)

A.若$b_{n} = - a_{n}$，则数列$\{ b_{n}\}$是递减的等差数列
B.若$b_{n} = 3a_{n}$，则数列$\{ b_{n}\}$成等差数列
C.若$b_{n} = a_{n} + a_{n + 1}$，则数列$\{ b_{n}\}$是公差为$d$的等差数列
D.若$b_{n} = a_{n} + n$，则数列$\{ b_{n}\}$是公差为$d + 1$的等差数列

答案： ABD由于$a_{n} = a_{1} + (n - 1)d = dn + (a_{1} - d)$且$d ＞ 0$,
A:由于$b_{n} = - a_{n} = - dn + (d - a_{1})$,即数列
$\{ b_{n}\}$是递减的等差数列,正确;
B:由于$b_{n} = 3a_{n}$,所以数列$\{ b_{n}\}$成等差数
列,正确;
C:由于$b_{n} = a_{n} + a_{n + 1} = 2dn + (2a_{1} - d)$,则数列$\{ b_{n}\}$是公差为$2d$的等差数列,错误;
D:由于$b_{n} = a_{n} + n = (d + 1)n + (a_{1} - d)$,则数列$\{ b_{n}\}$是公差为$d + 1$的等差数列,
正确.

4. 已知数列$\{ a_{n}\},\{ b_{n}\}$是等差数列，其中$a_{1} = 3,b_{1} = - 3$且$a_{9} = 9,b_{9} = 15$，那么$a_{5} - b_{5} =$0.

答案： 答案:0
解析:由数列$\{ a_{n}\},\{ b_{n}\}$是等差数列可得:
$2a_{5} = a_{1} + a_{9},2b_{5} = b_{1} + b_{9}$.
因为$a_{1} = 3,b_{1} = - 3,a_{9} = 9,b_{9} = 15$,所以
$a_{5} = 6,b_{5} = 6$,所以$a_{5} - b_{5} = 0$.