《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

跟踪训练
1.(多选)下列数列是等差数列的是 (ABC)

A.$1,1,1,1,1$
B.$4,7,10,13,16$
C.$\frac{1}{3},\frac{2}{3},1,\frac{4}{3},\frac{5}{3}$
D.$-3,-2,-1,1,2$

答案： 1.ABC 由等差数列的定义得，A项$d = 0$，故是等差数列；B项$d = 3$，故是等差数列；C项$d = \frac{1}{3}$，故是等差数列；D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列.

由三个数$a$，$A$，$b$组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，$A$叫做$a$与$b$的等差中项，且$2A = a + b$.
微思考：根据等差中项的概念，任意两个实数都有等差中项吗?

答案： 等差中项
微思考： 提示:任意两个实数都有等差中项，而且有 唯一的等差中项，其本质是两个实数的算 术平均数.

[例 2] 已知$m$和$2n$的等差中项是$4$，$2m$和$n$的等差中项是$5$，则$2m - n$和$2n - m$的等差中项是 (D)

A.$8$
B.$6$
C.$4.5$
D.$3$

答案： [答案] D [解析] $\because m + 2n = 8,2m + n = 10,\therefore 3m + 3n = 18,\therefore m + n = 6,\therefore 2m - n$和$2n - m$的等差中项是$\frac{(2m - n) + (2n - m)}{2} = \frac{m + n}{2}= 3$.

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2. 已知$a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$，$b = \sqrt{3} - \sqrt{2}$，则$a$，$b$的等差中项为 (B)

A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{1}{\sqrt{3}}$
D.$\frac{1}{\sqrt{2}}$

答案： 2.B $a,b$的等差中项为$\frac{a + b}{2} =\frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{2} = \sqrt{3}$.

3. 在$-1$与$7$之间顺次插入三个数$a$，$b$，$c$，使这五个数成等差数列，求此数列.

答案： 3.解：因为$-1,a,b,c,7$成等差数列，所以$b$是$-1$与$7$的等差中项，则$b = \frac{-1 + 7}{2} = 3$，又$a$是$-1$与$3$的等差中项，所以$a = \frac{-1 + 3}{2} = 1$.又$c$是$3$与$7$的等差中项，所以$c = \frac{3 + 7}{2} = 5$.所以该数列为$-1,1,3,5,7$.