《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

跟踪训练
2.(多选)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则 (ACD)

A.冬至的日影子长最长，为15.5尺
B.立夏比谷雨的日影子长多1尺
C.大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列
D.清明的日影子长为8.5尺

答案： 跟踪训练2.ACD依题意，从冬至起，日影
长依次记为$a_{1}$，$a_{2}$，$·s$，$a_{12}$，则数列$\{a_{n}\} (n\in N^{*}$，$n\leq12)$是等差数列，
因此，$a_{1}+a_{4}+a_{7}=37.5$，而$a_{1}+a_{7}=2a_{4}$，
解得$a_{4}=12.5$，又因为$a_{12}=4.5$，
设数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，于是得：
$\begin{cases}a_{1}+3d=12.5,\\a_{1}+11d=4.5,\end{cases}$解得$a_{1}=15.5$，$d=-1$，A
正确；
$a_{10}-a_{9}=-1$，立夏比谷雨的日影子少1
尺，B不正确；
而$a_{3}$，$a_{5}$，$a_{7}$成等差数列，即大寒、雨水、春
分的日影子长成等差数列，C正确；
$a_{8}=a_{1}+(8-1)d=8.5$，即清明的日影子
长为8.5尺，D正确.

[例3] 若关于$x$的方程$x^2 - x + m = 0$和$x^2 - x + n = 0(m,n\in \mathbf{R}$，且$m\neq n)$的四个根组成首项为$\frac {1} {4}$的等差数列，则数列的公差$d=$$\frac{1}{6}$，$m + n$的值为$\frac{31}{72}$.

答案： ［例3］［答案］$\frac{1}{6}$ $\frac{31}{72}$
［解析］设$x^{2}-x+m=0$，$x^{2}-x+n=0$的
根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$，$x_{4}$，则$x_{1}+x_{2}=x_{3}+x_{4}=1$(且$1-4m＞0$，$1-4n＞0$).
设数列的首项为$x_{1}$，则根据等差数列的性
质，数列的第4项为$x_{2}$.由题意知$x_{1}=\frac{1}{4}$
$\therefore x_{2}=\frac{3}{4}$，数列的公差$d=\frac{3}{4}-1=\frac{1}{6}$
$\therefore$数列的中间两项分别为$\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}$，$\frac{5}{12}+\frac{1}{6}=\frac{7}{12}$.
$\therefore x_{1}· x_{2}=m=\frac{3}{16}$，$x_{3}· x_{4}=n=\frac{5}{12}×\frac{7}{12}=\frac{35}{144}$，$\therefore m+n=\frac{3}{16}+\frac{35}{144}=\frac{31}{72}$.

跟踪训练
3.已知五个矩形的长$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$成等差数列，对应的宽分别为$b_1,b_2,b_3,b_4,b_5$，且每个矩形的长与宽之比都相等.若$a_3 = b_1 = 3b_5 = 192$，则$a_2 + a_5 =$
(B)

A.384
B.336
C.288
D.224

答案： 跟踪训练3.B因为$a_{3}=b_{1}=192$，$b_{5}=64$，
所以$b_{3}=\frac{b_{1}+b_{5}}{2}=128$，$\frac{a_{3}}{b_{3}}=\frac{192}{128}=\frac{3}{2}$，
则$a_{5}=96$，$d=\frac{a_{5}-a_{3}}{5-3}=-48$，$a_{2}=a_{3}-d=$
$192-(-48)=240$，
故$a_{2}+a_{5}=240+96=336$.

1.已知数列$\{ a_n \}$为等差数列，$a_1 + a_2 + a_3 = 7$，$a_7 + a_8 + a_9 = 13$，则$a_13 + a_14 + a_15 =$
(A)

A.19
B.22
C.25
D.27

答案： 1.A根据等差数列性质，由$a_{1}+a_{2}+a_{3}=7$，
$a_{7}+a_{8}+a_{9}=13$可得$3a_{2}=7$，$3a_{8}=13$，
所以可得$a_{2}=\frac{7}{3}$，$a_{8}=\frac{13}{3}$，又因为$a_{2}+a_{14}=2a_{8}$可得$a_{14}=\frac{19}{3}$，所以$a_{13}+a_{14}+a_{15}=3a_{14}=19$.

2.已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼，其中甲每隔1天去一次，乙每隔2天去一次，丙每隔3天去一次.若3月14日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是 (C)

A.3月28日
B.3月27日
C.3月26日
D.3月25日

答案： 2.C由题意，三人各自去锻炼的日期分别是
等差数列，公差分别为2,3,4，最小公倍数
为12，所以下一次三人都去锻炼的日期是3
月26日.

3.在等差数列$\{ a_n \}$中，$a_2 = 3$，$a_6 = 11$，直线$l$过点$M(m,a_m )$，$N(n,a_n )(m\neq n,m,n\in \mathbf{N}^* )$，则直线$l$的斜率为 (A)

A.2
B.-2
C.4
D.-4

答案： 3.A因为$\{a_{n}\}$是等差数列，$a_{2}=3$，$a_{6}=11$，
令数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，
所以$a_{6}-a_{2}=4d=8$，$d=2$，所以$a_{n}=a_{2}+(n-2)d=2n-1$，所以$M(m,2m-1)$，$N(n,2n-1)$，则直线$l$的斜率为$\frac{2n-2m}{n-m}=2$.

4.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费23.2元.

答案： 4.答案23.2
解析根据题意，当该市出租车的行程大于
或等于4km时，每增加1km，乘客需要支
付1.2元.所以可以建立一个等差数列$\{a_{n}\}$
来计算车费.令$a_{1}=11.2$，表示4km处的
车费，公差$d=1.2$，那么当出租车行至
14km处时，$n=11$，
此时需要支付车费$a_{11}=11.2+(11-1)×1.2=23.2$(元).