《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

[例](多选)数列$1,2,1,2,·s$的通项公式可能为
(ACD)

A.$a _ { n } = \frac { 3 + ( - 1 ) ^ { n } } { 2 }$
B.$a _ { n } = \frac { 3 + ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { 2 }$
C.$a _ { n } = \frac { 3 + \cos n \pi } { 2 }$
D.$a _ { n } = \frac { 3 + \sin \frac { 2 n + 1 } { 2 } \pi } { 2 }$

答案： [例] [答案] ACD
[解析] 对于A，当$n$为奇数时，$a_n = \frac{3-1}{2} = 1$，当$n$为偶数时，$a_n = \frac{3+1}{2} = 2$，故A中通项公式正确；
对于B，当$n$为奇数时，$a_n = \frac{3+1}{2} = 2$，当$n$为偶数时$a_n = \frac{3-1}{2} = 1$，故B中通项公式不正确；
对于C，当$n$为奇数时，$a_n = \frac{3-1}{2} = 1$，当$n$为偶数时，$a_n = \frac{3+1}{2} = 2$，故C中通项公式正确；
对于D，当$n$为奇数时，$a_n = \frac{3-1}{2} = 1$，当$n$为偶数时，$a_n = \frac{3+1}{2} = 2$，故D中通项公式正确。

跟踪训练
(多选)已知数列的前4项为$2,0,2,0$，则依此归
纳该数列的通项公式可能是
(ABD)

A.$a _ { n } = ( - 1 ) ^ { n - 1 } + 1$
B.$a _ { n } = \begin{cases} 2 , n 为奇数 \\ 0 , n 为偶数 \end{cases} $
C.$a _ { n } = 2 \sin \frac { n \pi } { 2 }$
D.$a _ { n } = \cos ( n - 1 ) \pi + 1$

答案： 跟踪训练 ABD 对于A，当$n$为奇数时，$a_n = 2$，当$n$为偶数时，$a_n = 0$，故A中通项公式正确；对于B显然正确；
对于C，当$n = 3$时，$a_3 = -2$，显然不符合；
对于D，当$n$为奇数时，$a_n = 2$，当$n$为偶数时，$a_n = 0$，故D中通项公式正确。

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。

答案： 知识点1 相邻 多项之间

[例 1] 根据下列条件，写出各数列的前 4 项，并归纳猜想数列的通项公式。
(1)$a_{1}=0$，$a_{n + 1}=a_{n}+2n - 1(n\in \mathbf{N},n\geqslant 1)$；
(2)$a_{1}=1$，$a_{n + 1}=a_{n}+\frac{a_{n}}{n + 1}(n\in \mathbf{N},n\geqslant 1)$。

答案： [例1] [解]
(1)因为$a_1=0,a_{n+1}=a_n+2n-1(n\in N^*,n\geq1)$，
则$a_2=a_1+1=1,a_3=a_2+3=1+3=4,a_4=a_3+5=4+5=9$，
归纳猜想$a_n=(n - 1)^2$.
(2)因为$a_1=1,a_{n+1}=a_n+\frac{a_n}{n+1}(n\in N^*,n\geq1)$，则$a_2=a_1+\frac{a_1}{2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2},a_3=a_2+\frac{a_2}{3}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2,a_4=a_3+\frac{a_3}{4}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，归纳猜想$a_n=\frac{n + 1}{2}$.

跟踪训练
1. 若数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=3$，$a_{n + 1}=2a_{n}-n + 1$，则$a_{2}+a_{3}+a_{4}=$(D)

A.6
B.14
C.22
D.37

答案： 跟踪训练1.D $\because a_1=3,a_{n+1}=2a_n-n + 1$，$\therefore a_2=2a_1-1 + 1=6,a_3=2a_2-2 + 1=11,a_4=2a_3-3 + 1=20$，$\therefore a_2+a_3+a_4=6 + 11+20=37$.

2. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n + 1}=\begin{cases}2a_{n},0\leqslant a_{n}\lt \frac{1}{2},\\2a_{n}-1,\frac{1}{2}\leqslant a_{n}\lt 1,\end{cases}$若$a_{1}=\frac{6}{7}$，则$a_{2025}=$ ______ 。

答案： 2.答案：$\frac{3}{7}$
解析：计算得$a_2=2a_1-1=\frac{5}{7},a_3=2a_2-1=\frac{3}{7},a_4=2a_3=\frac{6}{7}$.故数列$\{a_n\}$是以3为周期的周期数列，又因为$2025=674×3 + 3$，所以$a_{2025}=a_3=\frac{3}{7}$.