《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

跟踪训练
5. 已知$\{a_{n}\}$为等差数列，且$a_{1} + a_{3}=8$，$a_{2} + a_{4}=12$.
(1) 求$\{a_{n}\}$的通项公式；
(2) 记$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$a_{1},a_{k},S_{k + 2}$成等比数列，求正整数$k$的值.

答案： 跟踪训练 5.解：
(1)设数列$\{ a_n \}$的公差为$d$，
由题意知$\begin{cases}2a_1+2d=8,\\2a_1+4d=12,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_1=2,\\d=2,\end{cases}$
所以$a_n=a_1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n$.
(2)由
(1)可得$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2+2n)}{2}$
$=n(1+n)$.
因为$a_1,a_k,S_{k+2}$成等比数列，
所以$a_k^2=a_1S_{k+2}$，
从而$(2k)^2=2(k+2)(k+3)$，
即$k^2-5k-6=0$，解得$k=6$或$k=-1$(舍
去)，因此$k=6$.

1. 一个各项都为正数的等比数列，任一项都等于它后面的两项之和，则其公比为(A)

A.$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
D.$\frac{2}{\sqrt{5}}$

答案： 1.A 设等比数列$\{ a_n \}$，公比$q$，由题意知,$a_n=a_{n+1}+a_{n+2}$，则有$a_n=a_nq+a_nq^2$
由$a_n \neq 0$，则$q^2+q-1=0$，解得$q=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$，由等比数列各项都为正数，则$q＞0$，则$q=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

2. 已知等差数列$\{a_{n}\}$满足：$a_{1}=-8$，$a_{2}=-6$. 若将$a_{1},a_{4},a_{5}$都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为(A)

A.$-1$
B.0
C.1
D.无法确定

答案： 2.A 因为$a_1=-8,a_2=-6$，所以$d=a_2-a_1=2$，则$a_n=2n-10$，所以$a_4=-2,a_5=0$，设$a_1,a_4,a_5$都加上同一个数$x$，得到的三
个新数依次为$x-8,x-2,x$，则$(x-8)x=(x-2)^2$，解得$x=-1$.

3. 已知各项均为正数的等比数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}a_{2}a_{3}=5$，$a_{4}a_{5}a_{6}=5\sqrt{2}$，则$a_{10}a_{11}a_{12}=$(C)

A.25
B.20
C.$10\sqrt{2}$
D.10

答案： 3.C 设公比为$q(q＞0)$，因为数列$\{ a_n \}$为正
项等比数列，所以$a_1a_2a_3=a_2^3=5$，$a_4a_5a_6=a_5^3=5\sqrt{2}$，所以$(\frac{a_5}{a_2})^3=\frac{5\sqrt{2}}{5}=\sqrt{2}$，所以$q^9=\sqrt{2}$，
所以$a_{10}a_{11}a_{12}=a_{11}^3=(a_2q^9)^3=a_2^3 ×(q^9)^3=5 × (\sqrt{2})^3=10\sqrt{2}$.

4. 已知三个数成等比数列，其积为 512，如果第一个数与第三个数各减去 2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于28.

答案： 4.答案：28
解析：依题意，设原来的三个数依次为$\frac{a}{q}$，
$a,aq$.
因为$\frac{a}{q} · a · aq=512$，所以$a=8$.
又因为第一个数与第三个数各减去2后的
三个数成等差数列，
所以$(\frac{a}{q}-2)+(aq-2)=2a$，
所以$2q^2-5q+2=0$，所以$q=2$或$q=\frac{1}{2}$，
所以原来的三个数为4,8,16或16,8,4，因
为$4+8+16=16+8+4=28$，
所以原来的三个数的和等于28.