《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 在等比数列$\{a_{n}\}$中，若$a_{2} = 1$，$a_{4} = 2$，则$a_{8} =$(D)

A.$3$
B.$4$
C.$6$
D.$8$

答案： 设$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，则$a_{4} = a_{2}q^{2}$，所以$q^{2} = 2$，所以$a_{8} = a_{4}q^{4} = 2 × 2^{2} = 8$.

2. 已知$\{a_{n}\}$是等比数列，若$a_{2}a_{4} = a_{3}$，$a_{4}a_{5} = 8$，则$a_{1} =$(A)

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$2$
D.$4$

答案： 因$\{ a_{n}\}$是等比数列，设公比为$q$，则由$a_{2}a_{4} = a_{3} \Rightarrow a_{3}^{2} = a_{3}$，因为$a_{3} \neq 0$，所以$a_{3} = 1$，又由于$a_{4}a_{5} = 8 \Rightarrow a_{3}^{2}q^{3} = 8$，代入解得$q = 2$，故$a_{1} = \frac{a_{3}}{q^{2}} = \frac{1}{4}$.

3. (多选)已知数列$\{a_{n}\}$是等比数列，则下列说法正确的是(BD)

A.若$a_{5} = 4$，$a_{9} = 64$，则$a_{7} = \pm 16$
B.数列$\{a_{n}a_{n + 1}\}$是等比数列
C.数列$\{a_{n} - a_{n + 1}\}$是等比数列
D.若$a_{1} ＜ a_{2} ＜ a_{3}$，则数列$\{a_{n}\}$是递增数列

答案： 设$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，所以$a_{9} = a_{5}q^{4} = 4q^{4} = 64$，所以$q^{4} = 16,q^{2} = 4$，所以$a_{7} = a_{5}q^{2} = 16$，故A错误；因为数列$\{ a_{n}\}$是等比数列，所以$a_{n} \neq 0$，所以$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \neq 0$，又$\frac{a_{n + 1}a_{n + 2}}{a_{n}a_{n + 1}} = q^{2}$，所以数列$\{ a_{n}a_{n + 1}\}$是等比数列，故B正确；当$q = 1$时，$a_{n} - a_{n + 1} = a_{n} - a_{n} = 0$，此时$\{ a_{n} - a_{n + 1}\}$不是等比数列，故C错误；因为$a_{1} ＜ a_{2} ＜ a_{3}$，故$a_{1} ＜ a_{1}q ＜ a_{1}q^{2}$，化简$\frac{a_{1}q(q - 1)}{a_{1}(q - 1)} ＞ 0$，得$q ＞ 0,a_{1}(q - 1) ＞ 0$，所以$a_{n + 1} - a_{n} = a_{1}q^{n - 1}(q - 1) ＞ 0$，故$a_{n + 1} ＞ a_{n}(n \in \mathbf{N}^{*})$，所以数列$\{ a_{n}\}$是递增数列，故D正确.

4. 等差数列$\{a_{n}\}$前$13$项和为$91$，正项等比数列$\{b_{n}\}$满足$b_{7} = a_{7}$，则$\log_{7}b_{1} + \log_{7}b_{2} + ·s + \log_{7}b_{13} =$13.

答案： 由题知，$S_{13} = \frac{13(a_{1} + a_{13})}{2} = 13a_{7} = 91$，解得$a_{7} = 7$，所以$b_{7} = 7$，所以$\log_{7}b_{1} + \log_{7}b_{2} + ·s + \log_{7}b_{13} = \log_{7}(b_{1}b_{2}·s b_{13}) = \log_{7}b_{7}^{13} = \log_{7}7^{13} = 13$.

[例 1]
有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为 216，后三个数成等差数列，且它们的和为 12，求这四个数.

答案： [例1] [解] 法一：设前三个数分别为$\frac{a}{q}$，
$a,aq$，则$\frac{a}{q} · a · aq=216$，
所以$a^3=216$，所以$a=6$.因此前三个数为$\frac{6}{q},6,6q$.由题意知第4个数为$12q-6$.
所以$6+6q+12q-6=12$，解得$q=\frac{2}{3}$.故所
求的四个数为$9,6,4,2$.
法二：设后三个数分别为$m-d,m,m+d$，
则$m-d+m+m+d=12$，所以$m=4$，因此后三个数为$4-d,4,4+d$，则第一个数为$\frac{1}{4}(4-d)^2$，
由题意知$\frac{1}{4}(4-d)^2 × (4-d) × 4=216$，解
得$4-d=6$，所以$d=-2$.
故所求的四个数为$9,6,4,2$.

跟踪训练
1. 已知三个数成等比数列，若它们的和等于 13，积等于 27，则这三个数为1,3,9或9,3,1.

答案： 跟踪训练 1.答案：1,3,9或9,3,1
解析：设这三个数为$\frac{a}{q}$，$a$，$aq$，则
$\begin{cases}a+\frac{a}{q}+aq=13,\\a · \frac{a}{q} · aq=27,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\q=3\end{cases}$或$\begin{cases}a=3,\\q=\frac{1}{3}.\end{cases}$
这三个数为1,3,9或9,3,1.

2. 已知 4 个数成等比数列，其乘积为 1，第 2 项与第 3 项之和为$-\frac{3}{2}$，则这四个数为8，$-2$，$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{8}$或$-\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$，$-2$,8.

答案： 2.答案：8，$-2$，$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{8}$或$-\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$，$-2$,8
解析：设这四个数为$a,aq,aq^2,aq^3$.
则$a^4q^6=1$，且$aq(1+q)=-\frac{3}{2}$①，所以$a^2q^3= \pm 1$，
当$a^2q^3=1$时，$q＞0$，代入①式化简可得$q^2+\frac{1}{4}q+1=0$，此方程无解；
当$a^2q^3=-1$时，$q＜0$，代入①式化简可得$q^2+\frac{17}{4}q+1=0$，解得$q=-\frac{1}{4}$或$q=-4$.
当$q=-\frac{1}{4}$时，$a=8$；当$q=-4$时，$a=-\frac{1}{8}$.
所以这4个数为8，$-2$，$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{8}$或$-\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$，$-2$,8.