《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

[例 3] 求抛物线$f(x)=x^{2}+1$在点$P(1,2)$处的切线的斜率，并求出切线方程.

答案： [例3]　[解]　抛物线$f(x)=x^{2}+1$在点$P(1,2)$处的切线的斜率
$k=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(1+\Delta x)^{2}+1-(1^{2}+1)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(\Delta x)^{2}+2\Delta x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}(\Delta x + 2)=2$，
故切线方程为$y - 2 = 2(x - 1)$，即$2x - y = 0$。

4. 设抛物线$y = ax^{2}$在点$(1,a)$处的切线与直线$2x - y - 6 = 0$平行，则$a$的值为 (A)

A.$1$
B.$\frac{1}{2}$
C.$- \frac{1}{2}$
D.$-1$

答案： 4.A　因为抛物线$y = ax^{2}$在点$(1,a)$处的切线斜率为$k=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{a(1+\Delta x)^{2}-a×1^{2}}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}(2a + a\Delta x)=2a$，
由已知，可得$2a = 2$，$a = 1$。

1. 某质点的运动方程为$s(t)=1 - t^{2}$，则该物体在$[1,2]$内的平均速度为 (D)

A.$2$
B.$3$
C.$-2$
D.$-3$

答案： 1.D $\overline{v}=\frac{(1 - 2^{2})-(1 - 1^{2})}{2 - 1}=-3$。

2. 函数$y = x^{2}$在$x = 1$处的瞬时变化率为 (A)

A.$2$
B.$\frac{1}{2}$
C.$- \frac{1}{2}$
D.$1$

答案： 2.A 函数$y = x^{2}$在$x = 1$处的瞬时变化率为$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(1+\Delta x)^{2}-1^{2}}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}(\Delta x + 2)=2$。

3. 物体自由落体的运动方程为$s(t)=\frac{1}{2}gt^{2},g = 9.8\ m/s^{2}$.若$v = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{s(1 + \Delta t) - s(1)}{\Delta t} = 9.8\ m/s$，
那么下列说法中正确的是 (C)

A.$9.8\ m/s$是物体从$0\ s$到$1\ s$这段时间内的速度
B.$9.8\ m/s$是$1\ s$到$(1 + \Delta t)\ s$这段时间内的速度
C.$9.8\ m/s$是物体在$t = 1\ s$这一时刻的瞬时速度
D.$9.8\ m/s$是物体从$1\ s$到$(1 + \Delta t)\ s$这段时间内的平均速度

答案： 3.C 当$\Delta t$趋近于$0$时，平均速度趋于该时刻的瞬时速度。

4. 抛物线$y = x^{2} + 4$在点$(1,5)$处的切线的方程为$2x - y + 3 = 0$.

答案： 4.答案:$2x - y + 3 = 0$。
解析:$k=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(1+\Delta x)^{2}+4 - 5}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}(\Delta x + 2)=2$，所以切线方程为$y - 5 = 2(x - 1)$，即$2x - y + 3 = 0$。