《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

2. 设某质点的位移$s$(单位：m)与时间$t$(单位：s)的关系是$s(t)= - t^{2}$，则质点在第$1\ s$时的瞬时速度等于 (D)

A.$2\ m/s$
B.$1\ m/s$
C.$-1\ m/s$
D.$-2\ m/s$

答案： 2.D 质点在第$1 s$时的瞬时速度为$\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{s(1+\Delta t)-s(1)}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{1-(1+\Delta t)^{2}}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}(-2-\Delta t)=-2 m/s$。

3. 一质点$M$按运动方程$s(t)=at^{2}+1$做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点$M$在$t = 2$时的瞬时速度为$8\ m/s$，则常数$a$的值为2.

答案： 3.答案:2
解析:$\because$质点$M$在$t = 2$附近的平均变化率为$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(2+\Delta t)-s(2)}{\Delta t}=\frac{a(2+\Delta t)^{2}-4a}{\Delta t}=4a + a\Delta t$，
又质点$M$在$t = 2$时的瞬时速度为$8 m/s$，$\therefore\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=4a = 8$，即$a = 2$。

1. 设$P_{0}(x_{0},f(x_{0})),P(x,f(x))$是曲线$y = f(x)$上任意不同两点，则平均变化率$\frac{\Delta y}{\Delta x} =$
$\frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}$为割线$P_{0}P$的斜率.
2. 设$P_{0}(x_{0},f(x_{0})),P(x,f(x))$是抛物线$y = f(x)$上任意不同两点，当$P$点逐渐靠近$P_{0}$点，即$\Delta x$逐渐变小，当$\Delta x \to 0$时，$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$，
就是抛物线$y = f(x)$在$P_{0}$处的斜率，即$k = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$.

答案： 2.斜率