《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

□ 跟踪训练
4. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中, $ a_{10} = 18 $, 前 $ 5 $ 项的和 $ S_{5} = -15 $.
(1) 求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式;
(2) 求数列$\{ a_{n}\}$的前 $ n $ 项和的最小值, 并指出何时取最小值.

答案： 跟踪训练4.解：
(1)设等差数列的公差为$d$，
因为在等差数列$\{a_{n}\}$中，$a_{10}=18,S_{5}=-15$，
所以$\begin{cases}a_{1}+9d = 18,\\5a_{1}+\frac{5}{2}×4× d=-15,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_{1}=-9,\\d = 3,\end{cases}$
所以$a_{n}=3n - 12,n\in\mathbf{N}^{*}$.
(2)因为$a_{1}=-9,d = 3,a_{n}=3n - 12$，
所以$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=\frac{1}{2}(3n^{2}-21n)=\frac{3}{2}(n-\frac{7}{2})^{2}-\frac{147}{8}$
所以当$n = 3$或$4$时，
前$n$项的和$S_{n}$取得最小值$S_{3}=S_{4}=-18$.

1. 数列$\{ a_{n}\}$通项公式为 $ a_{n} = 3n - 27 $, 则其前 $ n $ 项和 $ S_{n} $ 的最小值为(B)

A.$-105$
B.$-108$
C.$-115$
D.$-118$

答案： 1.B由题意知$a_{n}=3n - 27$，则数列$\{a_{n}\}$为
等差数列，且为单调递增数列，当数列
$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$取得最小值时即$\begin{cases}a_{n}=3n - 27\leqslant0,\\a_{n + 1}=3n - 24\geqslant0,\end{cases}$
解得：$8\leqslant n\leqslant9$，又因为
$n$为正整数，所以$n = 8$或$n = 9$，所以由等差
数列前$n$项和可得$S_{8}=S_{9}=\frac{(a_{1}+a_{9})×9}{2}=-108$.

2. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $, 若$\dfrac {S_{3}}{S_{6}} = \dfrac {1}{4}$, 则$\dfrac {S_{6}}{S_{12}} =$(C)

A.$\dfrac {1}{8}$
B.$\dfrac {7}{26}$
C.$\dfrac {1}{4}$
D.$\dfrac {1}{2}$

答案： 2.C由等差数列的性质知$S_{3},S_{6}-S_{3},S_{9}-S_{6},S_{12}-S_{9}$成等差数列，
设$S_{3}=k,S_{6}=4k(k\neq0)$，则$S_{9}=3S_{6}-3S_{3}=9k,S_{12}=3S_{9}-3S_{6}+S_{3}=16k$，
所以$\frac{S_{6}}{S_{12}}=\frac{1}{4}$.

3. 已知 $ S_{n} $ 是等差数列$\{ a_{n}\}$的前 $ n $ 项和, 若 $ a_{1} = -2 $, $\dfrac {S_{2\,022}}{2\,022} - \dfrac {S_{2\,020}}{2\,020} = 2 $, 则$\dfrac {S_{2\,024}}{2\,024} =$$2021$.

答案： 3.答案：$2021$
解析：$\because S_{n}$是等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，
$\because\{\frac{S_{n}}{n}\}$是等差数列，设其公差为$d$.
$\therefore\frac{S_{2022}}{2022}-\frac{S_{2020}}{2020}=2$，$\therefore2d = 2$，$d = 1$.
$\because a_{1}=-2,\therefore\frac{S_{1}}{1}=-2$，
$\therefore\frac{S_{n}}{n}=-2+(n - 1)×1=n - 3$，
$\because\frac{S_{2024}}{2024}=2024 - 3 = 2021$.