《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 数列$ 1,1,1,·s,1,·s $必为(C)

A.等差数列，但不是等比数列
B.等比数列，但不是等差数列
C.既是等差数列，又是等比数列
D.既不是等差数列，也不是等比数列

答案： 跟踪训练 1.C 数列1,1,1,$·s$,1,$·s$是公差为0的等差数列，也是公比为1的等比数列.

2. 在数列$\{ a_n \}$中，“$ a_{n + 1} = 2a_n $”是“$\{ a_n \}$是公比为$ 2 $的等比数列”的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2.B 对数列$\{a_n\}$，$a_{n + 1} = 2a_n$，若$a_1 = 0$，则可得$a_2 = a_3 = ·s = a_n = 0$，此时$\{a_n\}$不是公比为2的等比数列；若$\{a_n\}$是公比为2的等比数列，则$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = 2$，即$a_{n + 1} = 2a_n$，故“$a_{n + 1} = 2a_n$”是“$\{a_n\}$是公比为2的等比数列”的必要不充分条件.

如果在$ a $与$ b $中间插入一个数$ G $，使$ a,G,b $成等比数列，那么$ G $叫做$ a $与$ b $的等比中项。此时，$ G^2 = $$ab$。

答案： 知识点2 等比中项 $ab$

[例2] 若$ 5 $是$ a $与$ b $的等差中项，$ 3 $是$ a $与$ b $的等比中项，则$ a^2 + b^2 = $82。

答案： [例2] [答案] 82
[解析] 由已知$a + b = 10$，$ab = 9$，所以$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 100 - 18 = 82$.

3. 在等比数列$\{ a_n \}$中，$ a_2 = 4 $，$ a_4 = 16 $，则$ a_2 $与$ a_4 $的等比中项为(C)

A.$ 8 $
B.$ 10 $
C.$ \pm 8 $
D.$ \pm 10 $

答案： 跟踪训练 3.C $a_2$与$a_4$的等比中项满足：$a_3^2 = a_2 · a_4 = 4 × 16 = 64$，故$a_3 = \pm 8$.

4. 已知数列$\{ a_n \}$是首项为$ 2 $公差不为$ 0 $的等差数列，且其中$ a_1,a_2,a_7 $三项成等比数列，则数列$\{ a_n \}$的通项公式$ a_n = $$8n - 6$。

答案： 4.答案：$8n - 6$
解析:设数列$\{a_n\}$的公差为$d(d≠0)$，则$a_7^2 = a_1a_7$，即$(2 + 6d)^2 = 2(2 + 6d)$，解得$d = 8$或$0$(舍去)，所以$a_n = 2 + 8(n - 1) = 8n - 6$.

1. 若等比数列$\{ a_n \}$的首项为$ a_1 $，公比为$ q $，则$ a_n = $$a_1q^{n - 1}$$(n \in \mathbf{N}^*)$。
2. 等比数列的通项公式与指数型函数的关系
(1) 当$ q ＞ 0 $且$ q \neq 1 $时，等比数列$\{ a_n \}$的第$ n $项$ a_n $是函数$ f(x) = \frac{a_1}{q} · q^x (x \in \mathbf{R})$当$ x = n $时的函数值，即$a_n = f(n)$。
(2) 任给函数$ f(x) = ka^x $($ k,a $为常数，$ k \neq 0 $，$ a ＞ 0 $且$ a \neq 1 $)，则$ f(1) = ka $，$ f(2) = ka^2 $，$·s$，$ f(n) = ka^n $，$·s$构成一个等比数列$\{ ka^n \}$，其首项为$k$，公比为$a$。

答案： 知识点3
1.$a_1q^{n - 1}$
2.
(1)$a_n = f(n)$
(2)$k a a$