《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

判定与证明等比数列的方法
1. 定义法：$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} =$q( $n \in \mathbf{N}^{*}$ 且 $n \geq 2$，$q$ 为不为 $0$ 的常数).
2. 等比中项法：$a_{n}^{2} =$$a_{n - 1}a_{n + 1}$( $n \in \mathbf{N}^{*}$ 且 $n \geq 2$).
3. 通项公式法：$a_{n} =$$a_{1}q^{n - 1}$$=\frac{a_{1}}{q} · q^{n} = a · q^{n}(a \neq 0)$.

答案： 1.q
2.$a_{n - 1}a_{n + 1}$
3.$a_{1}q^{n - 1}$

[例1]
已知数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1} = 1$，$a_{n + 1} = 2a_{n} + 1$. 证明：数列$\{a_{n} + 1\}$是等比数列.

答案： [证明] 因为$a_{n + 1} = 2a_{n} + 1$，所以$a_{n + 1} + 1 = 2(a_{n} + 1)$.
由$a_{1} = 1$，知$a_{1} + 1 \neq 0$，从而$a_{n} + 1 \neq 0$，所以$\frac{a_{n + 1} + 1}{a_{n} + 1} = 2(n \in \mathbf{N}^{*})$，
所以数列$\{ a_{n} + 1\}$是以$a_{1} + 1 = 2$为首项，2为公比的等比数列.

跟踪训练
1. 数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和记为$S_{n}$，已知$a_{1} = 1$，$a_{n + 1} =\frac{n + 2}{n}S_{n}(n = 1,2,3,·s)$. 证明：数列$\{\frac{S_{n}}{n}\}$是等比数列.

答案： 证明：由$a_{1} = 1,a_{n + 1} = \frac{n + 2}{n}S_{n}$，
得$a_{n} ＞ 0,S_{n} ＞ 0$.
由$a_{n + 1} = \frac{n + 2}{n}S_{n},a_{n + 1} = S_{n + 1} - S_{n}$，得$(n + 2)S_{n} = n(S_{n + 1} - S_{n})$，
整理，得$nS_{n + 1} = 2(n + 1)S_{n}$，所以$\frac{S_{n + 1}}{n + 1} = 2 · \frac{S_{n}}{n}$，则$\frac{\frac{S_{n + 1}}{n + 1}}{\frac{S_{n}}{n}} = 2$.
因为$\frac{\frac{S_{1}}{1}}{\frac{a_{1}}{1}} = 1$，所以数列$\{\frac{S_{n}}{n}\}$是以1为首项，2为公比的等比数列.