《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

首项为$a_1$，公差为$d$的等差数列$\{ a_n \}$的通项公式$a_n =$$a_1 + (n - 1)d$.

答案： $a_1 + (n - 1)d$

[例 3] 已知等差数列$-5,-9,-13,·s$.
(1)求该等差数列的第 20 项.
(2)试问$-401$是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由.

答案： [解]
(1)设该等差数列为$\{a_n\}$，由$a_1 = -5,a_2 = -9$，得该等差数列的公差$d = a_2 - a_1 = -4$，因此这个等差数列的通项公式为$a_n = -5 -4(n - 1) = -4n - 1$，所以该等差数列的第$20$项$a_{20} = -4 × 20 - 1 = -81$.
(2)假设$-401$是这个等差数列中的第$n$项，由
(1)得$-401 = -4n - 1$，解得$n = 100$，所以$-401$是这个等差数列的第$100$项.

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4. 等差数列$\{ a_n \}$的公差$d＜0$，且$a_2· a_4 = 12$，$a_2 + a_4 = 8$，则数列$\{ a_n \}$的通项公式是 (D)

A.$a_n = 2n - 2(n\in \mathbf{N}^*)$
B.$a_n = 2n + 4(n\in \mathbf{N}^*)$
C.$a_n = -2n + 12(n\in \mathbf{N}^*)$
D.$a_n = -2n + 10(n\in \mathbf{N}^*)$

答案： 4.D 由$a_2 · a_4 = 12,a_2 + a_4 = 8$，且$d ＜ 0$，解得$a_2 = 6,a_4 = 2$，所以$a_1 + d = 6,a_1 + 3d = 2$，所以$d = -2,a_1 = 8$，则$a_n = a_1 + (n - 1)d = 8 - 2(n - 1) = -2n + 10(n \in \mathbf{N}^*)$.

5. 首项为$-12$的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差$d$的取值范围是 (D)

A.$d＞\frac{8}{3}$
B.$d＜3$
C.$\frac{8}{3}\leqslant d＜3$
D.$\frac{4}{3}＜d\leqslant\frac{3}{2}$

答案： 5.D 设等差数列首项为$a_1 = -12$，公差为$d$，因为从第$10$项起开始为正数，所以$\begin{cases} a_9 \leq 0, \\ a_{10} ＞ 0 \end{cases}$即$\begin{cases} -12 + 8d \leq 0, \\ -12 + 9d ＞ 0 \end{cases}$解得$\frac{4}{3} ＜ d \leq \frac{3}{2}$.

1.(多选)下列数列中，是等差数列的是 (ABD)

A.$1,4,7,10$
B.$\lg 2,\lg 4,\lg 8,\lg 16$
C.$2^5,2^4,2^3,2^2$
D.$10,8,6,4,2$

答案： 1.ABD A,B,D项满足等差数列的定义，是等差数列；C中，因为$2^4 - 2^5 \neq 2^3 - 2^4 \neq 2^2 - 2^3$，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列.

2. 已知等差数列$\{ a_n \}$的通项公式为$a_n = 3 - 4n$，则 (D)

A.$a_1 = 3$
B.$a_1 = 1$
C.$d = 4$
D.$d = -4$

答案： 2.D 由$a_n = 3 - 4n$，则$a_1 = 3 - 4 × 1 = -1$，公差$d = -4$.

3. 已知等差数列$\{ a_n \}$的前三项分别为$a - 1$，$a + 1$，$2a + 1$，则该数列的通项公式为 (C)

A.$a_n = 2n - 5$
B.$a_n = 2n - 3$
C.$a_n = 2n - 1$
D.$a_n = 2n + 1$

答案： 3.C 设该等差数列的公差为$d$，因为等差数列$\{a_n\}$的前三项分别为$a - 1,a + 1,2a + 1$，所以$2(a + 1) = a - 1 + 2a + 1$，解得$a = 2$，所以$a_1 = 1,d = 2$，所以$a_n = a_1 + (n - 1)d = 2n - 1$.

4. 数列$\{ a_n \}$的首项$a_1 = \frac{1}{2}$且对任意$n\in \mathbf{N}^*$，$\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_n} = 1$恒成立，则$a_{10} =$$\frac{1}{11}$.

答案： 答案$\frac{1}{11}$ 解析：因为$\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_n} = 1$，且$a_1 = \frac{1}{2}$，则数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是以$2$为首项，$1$为公差的等差数列，所以$\frac{1}{a_n} = 2 + (n - 1) × 1 = n + 1$，则$a_n = \frac{1}{n + 1}$，所以$a_{10} = \frac{1}{1 + 10} = \frac{1}{11}$.