《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

跟踪训练
3. 写出下列各数列的一个通项公式,它们的前几项分别是:
(1) $ -\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{5}{8},\frac{13}{16},·s $;
(2) $ \frac{2^2 - 1}{2},\frac{3^2 - 1}{3},\frac{4^2 - 1}{4},\frac{5^2 - 1}{5},·s $;
(3) $ -\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},·s $;
(4) $ 2×3,3×4,4×5,5×6,·s $.

答案： 跟踪训练 3.解：
(1)各项分母分别为$2^1$,$2^2$,$2^3$,$2^4$，易看出第1,2,3,4项分子分别比分母少了3，则原数列可化为$\frac{2^1 - 3}{2^1}$,$\frac{2^2 - 3}{2^2}$,$\frac{2^3 - 3}{2^3}$,$\frac{2^4 - 3}{2^4}$，所以它的一个通项公式为$a_n = \frac{2^n - 3}{2^n}$,$n \in \mathbf{N}^*$.
(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为$a_n = \frac{(n + 1)^2 - 1}{n + 1}$,$n \in \mathbf{N}^*$.
(3)由$-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,$-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,…可知奇数项为负，偶数项为正，可得$a_n = (-1)^n × \frac{1}{2}$.
(4)由$2 × 3 = (1 + 1) × (1 + 2)$,$3 × 4 = (2 + 1) × (2 + 2)$,$4 × 5 = (3 + 1) × (3 + 2)$,$5 × 6 = (4 + 1) × (4 + 2)$,…，可得$a_n = (n + 1)(n + 2)$.

例4
已知数列$ \{a_n\} $的通项公式为$ a_n = \frac{3n - 2}{3n + 1} $.
(1) 求$ a_{10} $.
(2) 判断$ \frac{7}{10} $是否为该数列中的项? 若是,它为第几项;若不是,请说明理由.
[分析] (1)将$ n = 10 $代入$ \{a_n\} $的通项公式即可求$ a_{10} $.
(2)令$ a_n = \frac{7}{10} $,若$ n $为正整数,则$ \frac{7}{10} $是$ \{a_n\} $的项;否则,不是$ \{a_n\} $的项.

答案： [例4] [解]
(1)根据题意可得$a_{10} = \frac{3 × 10 - 2}{3 × 10 + 1} = \frac{28}{31}$.
(2)令$a_n = \frac{7}{10}$，即$\frac{3n - 2}{3n + 1} = \frac{7}{10}$，解得$n = 3$，所以$\frac{7}{10}$为数列$\{ a_n \}$中的项，为第3项.

4. 在数列$ \{a_n\} $中,若$ a_n = \begin{cases}2n - 1,n 为奇数, \\ 2^{n - 1},n 为偶数\end{cases}$则$ a_4 + a_5 $的值为 ( )
A.17
B.23
C.25
D.41

答案： 4.A 依题意，$a_4 + a_5 = 2^3 + (2 × 5 - 1) = 17$.

5. 35是数列$ 3,5,7,9,·s $的 ()
A.第16项
B.第17项
C.第18项
D.第19项

答案： 5.B 数列3,5,7,9,…的通项公式为$2n + 1$，由$2n + 1 = 35$得$n = 17$，所以35是数列3,5,7,9,…的第17项.