《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 已知曲线$y = f(x)$在点$(1, f(1))$处的切线方程为$2x - y + 2 = 0$，则$f'(1)$等于(D)

A.$4$
B.$-4$
C.$-2$
D.$2$

答案： 1. D 由导数的几何意义知$f'(1) = 2$。

2. 曲线$y = x^3 - 3x$在点$(2,2)$处的切线斜率是(A)

A.$9$
B.$6$
C.$-3$
D.$-1$

答案： 2. A $\because \Delta y = (2 + \Delta x)^3 - 3(2 + \Delta x) - 2^3 + 6 = 9\Delta x + 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$，
$\therefore \frac{\Delta y}{\Delta x} = 9 + 6\Delta x + (\Delta x)^2$，$\therefore \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} [9 + 6\Delta x + (\Delta x)^2] = 9$，
由导数的几何意义可知，曲线$y = x^3 - 3x$在点$(2,2)$处的切线斜率是$9$。

3. 如图，曲线$y = f(x)$在点$(2,2)$处的切线为直线$l$，直线$l$经过原点$O$，则$f'(2) + f(2)=$(C)


A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 3. 由题意，$f(2) = 2$，且$f'(2) = \frac{2 - 0}{2 - 0} = 1$，
所以$f'(2) + f(2) = 1 + 2 = 3$。

4. 已知曲线$y = 2x^2 + 4x$在点$P$处的切线斜率为$16$，则$P$点坐标为$(3,30)$.

答案： 4. 答案：$(3,30)$
解析：令$f(x) = 2x^2 + 4x$，设点$P(x_0,2x_0^2 + 4x_0)$，
则$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \over \Delta x}$
$= \lim_{\Delta x \to 0} {2(\Delta x)^2 + 4x_0 · \Delta x + 4\Delta x \over \Delta x} = 4x_0 + 4$，
令$4x_0 + 4 = 16$，得$x_0 = 3$，$\therefore P(3,30)$。

1.几个常见函数的导数


2. 基本初等函数的导数公式

答案： 1. 对于$f(x)=x$：根据求导公式$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，当$n = 1$时，$f^\prime(x)=(x^1)^\prime=1× x^{1 - 1}=1$。2. 对于$f(x)=x^{2}$：由求导公式$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，这里$n = 2$，则$f^\prime(x)=(x^{2})^\prime=2x^{2 - 1}=2x$。3. 对于$f(x)=x^{3}$：依据求导公式$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，当$n = 3$时，$f^\prime(x)=(x^{3})^\prime=3x^{3 - 1}=3x^{2}$。故答案依次为：$1$；$2x$；$3x^{2}$。
@@2.0 $ax^{a - 1}$ $\cos x$ $-\sin x$ $a^{x}\ln a$ $e^{x}$