《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

函数$y = (3x + 5)^{3}$可以看作函数$y = u^{3}$和$u =$$3x + 5$的复合函数.
函数$y = e^{- 0.05x + 1}$可以看作函数$y = e^{u}$和$u =$$-0.05x + 1$的复合函数.
函数$y = \ln(2x - 1)(x ＞ \frac{1}{2})$可以看作函数$y = \ln u$和$u =$$2x - 1$的复合函数.
函数$y = 18\sin(\frac{2\pi}{3}t - \frac{\pi}{2})$可以看作函数$y = 18\sin u$和$u =$$\frac{2\pi}{3}t - \frac{\pi}{2}$的复合函数.

答案： $3x + 5 -0.05x + 1 2x - 1 \frac{2\pi}{3}t - \frac{\pi}{2}$

[例2] 求下列函数的导数：
(1)$y = \frac{\ln 3x}{e^{x}}$；
(2)$y = x\sqrt{1 + x^{2}}$；
(3)$y = x\cos(2x + \frac{\pi}{2})\sin(2x + \frac{\pi}{2})$.

答案： [例2] [解]
(1)$\because (\ln 3x)' = \frac{1}{3x} × (3x)' = \frac{1}{x}$，$\therefore y' = \frac{(\ln 3x)'e^x - (\ln 3x)(e^x)'}{(e^x)^2}= \frac{\frac{1}{x} - \ln 3x}{e^x} = \frac{1 - x\ln 3x}{xe^x}$
(2)$y' = (x\sqrt{1 + x^2})' = x'\sqrt{1 + x^2} + x(\sqrt{1 + x^2})' = \sqrt{1 + x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1 + x^2}}= \frac{(1 + 2x^2)\sqrt{1 + x^2}}{1 + x^2}$
(3)$\because y = x\cos(2x + \frac{\pi}{2})\sin(2x + \frac{\pi}{2}) = x(-\sin 2x)\cos 2x = -\frac{1}{2}x\sin 4x$，$\therefore y' = (-\frac{1}{2}x\sin 4x)' = -\frac{1}{2}\sin 4x - \frac{1}{2}x\cos 4x · 4 = -\frac{1}{2}\sin 4x - 2x\cos 4x$。

▪跟踪训练▪
2.求下列函数的导数：
(1)$y = e^{x}\cos(3x - \frac{\pi}{4})$；
(2)$y = (x^{2} + 2x - 1)e^{2 - x}$.

答案： 跟踪训练 2.解：
(1)$y' = (e^x)'\cos(3x - \frac{\pi}{4}) + e^x[\cos(3x - \frac{\pi}{4})]' = e^x\cos(3x - \frac{\pi}{4}) - e^x\sin(3x - \frac{\pi}{4}) · (3x - \frac{\pi}{4})' = e^x\cos(3x - \frac{\pi}{4}) - 3e^x\sin(3x - \frac{\pi}{4})$。
(2) $y = \frac{e^2x^2 + 2e^2x - e^2}{e^x}$，$y' = \frac{(2e^2x + 2e^2 - e^2x^2 - 2e^2x + e^2)e^x}{(e^x)^2} = (-x^2 + 3)e^{2 - x}$。

[例3] 某个弹簧振子在振动过程中的位移$y$(单位：$ mm$)与时间$t$(单位：$ s$)之间的关系为$y = 18\sin(\frac{2\pi}{3}t - \frac{\pi}{2})$.求函数$y$在$t = 6 s$时的导数，并解释它的实际意义.

答案： [例3] [解] 函数$y = 18\sin(\frac{2\pi}{3}t - \frac{\pi}{2})$可以看作函数$y = 18\sin u$和$u = \frac{2\pi}{3}t - \frac{\pi}{2}$的复合函数，根据复合函数的求导法则，有$y'_t = y'_u · u'_t = (18\sin u)' · (\frac{2\pi}{3}t - \frac{\pi}{2})' = 18\cos u × \frac{2\pi}{3} = 12\pi\cos(\frac{2\pi}{3}t - \frac{\pi}{2})$。$y'|_{t = 6} = 12\pi\cos(4\pi - \frac{\pi}{2}) = 12\pi\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$。当$t = 6$时，它表示当$t = 6s$时，弹簧振子振动的瞬时速度为$0mm/s$。