《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

答案： 知识点2
递增 快 慢

[例2]
已知函数$f(x)$的导函数是$f'(x)=\sqrt{1 - x^{2}}$，则函数$f(x)$的图象可能是()

答案： [例2][答案]　B
[解析]　由题知$f^{\prime}(x)\geq0$且不恒等于0 。又$y = 1 - x^{2}$在$(0,1)$上单调递减，在$(-1,0)$上单调递增，$y=\sqrt{x}$在定义域上单调递增，所以$f^{\prime}(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(-1,0)$上单调递增，即当$x\in[-1,1]$时，$f^{\prime}(x)$的值由小变大，再由大变小，即函数$f(x)$图象从左到右是单调递增，且变化趋势是先慢后快再变慢，故选项B符合。

[例3]
已知导函数$f'(x)$的下列信息：当$x ＜ 0$，或$x ＞ 7$时，$f'(x) ＞ 0$；当$0 ＜ x ＜ 7$时，$f'(x) ＜ 0$；当$x = 0$，或$x = 7$时，$f'(x) = 0$，试画出函数$f(x)$的大致图象。

答案：
[例3]　[解]　当$x＜0$，或$x＞7$时，$f^{\prime}(x)＞0$，可知函数$f(x)$在区间$(-\infty,0)$和$(7,+\infty)$上都是单调递增的；当$0＜x＜7$时，$f^{\prime}(x)＜0$，可知函数$f(x)$在区间$(0,7)$上单调递减；当$x = 0$，或$x = 7$时，$f^{\prime}(x)=0$，这两个点比较特殊，我们称它们为“临界点”。函数$f(x)$的大致图象如图所示。

跟踪训练
2. $y = f'(x)$的图象如图所示，则$y = f(x)$的图象最有可能是(C)

答案： 跟踪训练　2.C　由导函数的图象可知，当$x＜0$或$x＞2$时，$f^{\prime}(x)＞0$；当$0＜x＜2$时，$f^{\prime}(x)＜0$。
所以，函数$f(x)$的增区间为$(-\infty,0)$和$(2,+\infty)$，减区间为$(0,2)$，所以，函数$f(x)$的图象为C选项中的图象。