《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

[例 2] 若函数 $h(x)=\ln x-\frac{1}{2}ax^{2}-2x(a\neq0)$ 在 $[1,4]$ 上单调递减，求实数 $a$ 的取值范围.

答案： [例2] [解] 因为$h(x)=\ln x-\frac{1}{2}ax^{2}-2x,x\in(0,+∞)$，所以$h'(x)=\frac{1}{x}-ax - 2$，
因为$h(x)$在$[1,4]$上单调递减，
所以当$x\in[1,4]$时，$h'(x)=\frac{1}{x}-ax - 2\leq0$恒成立，即$a\geq\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x}$恒成立.
令$g(x)=\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x},x\in[1,4]$，则$a\geq g(x)_{\max}$，而$g(x)=(\frac{1}{x}-1)^{2}-1$，
因为$x\in[1,4]$，所以$\frac{1}{x}\in[\frac{1}{4},1]$，
所以$a\geq g(x)_{\max}=-\frac{7}{16}$(此时$x = 4$)，所以$a\geq-\frac{7}{16}$
又因为$a\neq0$，则$a\in[-\frac{7}{16},0)\cup(0,+∞)$。
故实数$a$的取值范围是$[-\frac{7}{16},0)\cup(0,+∞)$。

2. (1)若函数 $f(x)=kx-\ln x$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上单调递增，求 $k$ 的取值范围；
(2)若函数 $f(x)=kx-\ln x$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上单调递减，求 $k$ 的取值范围；
(3)若函数 $f(x)=kx-\ln x$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上不单调，求 $k$ 的取值范围.

答案： 跟踪训练 2.解：
(1)由于$f'(x)=k-\frac{1}{x}$
$f(x)=kx-\ln x$在区间$(1,+∞)$上单调递增可得$f'(x)=k-\frac{1}{x}\geq0$在$(1,+∞)$上恒成立.
由于$k\geq\frac{1}{x}$，而$0＜\frac{1}{x}＜1,\therefore k\geq1$.
即$k$的取值范围为$[1,+∞)$。
(2)$f(x)$在$(1,+∞)$上单调递减，
$\therefore f'(x)=k-\frac{1}{x}\leq0$在$(1,+∞)$上恒成立，
即$k\leq\frac{1}{x}\because0＜\frac{1}{x}＜1,\therefore k\leq0$.
即$k$的取值范围为$(-∞,0]$。
(3)$f(x)=kx-\ln x$的定义域为$(0,+∞)$，
$f'(x)=k-\frac{1}{x}$.
当$k\leq0$时，$f'(x)＜0$，
$\therefore f(x)$在$(0,+∞)$上单调递减，不合题意；
当$k＞0$时，令$f'(x)=0$，得$x=\frac{1}{k}$，
只需$\frac{1}{k}\in(1,+∞)$，即$\frac{1}{k}＞1$，则$0＜k＜1$，
$\therefore k$的取值范围是$(0,1)$。

[例 3] (1)已知函数 $f(x)=e^{x + 1}+e^{-x}$ ($e$ 为自然常数)，记 $a = f(-2.1),b = f(1),c = f(1.2)$，则 $a,b,c$ 的大小关系为 (B)

A.$c ＜ a ＜ b$
B.$b ＜ a ＜ c$
C.$a ＜ b ＜ c$
D.$b ＜ c ＜ a$

答案： [例3] [答案]
(1)B
(2)A
[解析]
(1)因为$f(x)=e^{x + 1}+e^{-x}$，所以$a=f(-2.1)=e^{-1.1}+e^{2.1}=f(1.1)$，
$f'(x)=e^{x + 1}-e^{-x}$，
因为$f'(x)$是增函数，且$f'(-\frac{1}{2})=0$，
所以当$x\in(-\frac{1}{2},+∞)$时，$f'(x)＞0$，$f(x)$单调递增，
又$-\frac{1}{2}＜1＜1.1＜1.2$，
所以$f(1)＜f(1.1)＜f(1.2)$，即$b＜a＜c$。

(2)已知函数 $y = f(x)(x\in\mathbf{R})$ 的图象如图所示，则不等式 $xf^\prime(x)＞0$ 的解集为 (A)


A.$\left(0,\frac{1}{3}\right)\cup(2,+\infty)$
B.$\left(-\infty,\frac{1}{3}\right)\cup\left(\frac{1}{3},2\right)$
C.$(-\infty,0)\cup\left(\frac{1}{3},2\right)$
D.$(-1,0)\cup(1,3)$

答案： [例3] [答案]
(1)B
(2)A
[解析]
(2)由$y = f(x)(x\in\mathbf{R})$的图象可知，$f(x)$在$(-\infty,\frac{1}{3})$和$(2,+∞)$上单调递增，在$(\frac{1}{3},2)$上单调递减。
则当$x\in(-\infty,\frac{1}{3})$时$f'(x)＞0$，$x\in(2,+∞)$时$f'(x)＞0$，$x\in(\frac{1}{3},2)$时$f'(x)＜0$，
所以不等式$xf'(x)＞0$的解集为$(0,\frac{1}{3})\cup(2,+∞)$。