《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

等差数列的设法和技巧
1.当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为$a_1$，公差为$d$，利用已知条件建立方程(组)求出$a_1$和$d$，即可确定此等差数列的通项公式.
2.当已知数列有3项时，可设为$a-d,a,a + d$，此时公差为d.若有5项、7项······时，可同理设出.
3.当已知数列有4项时，可设为$a - 3d,a - d,a + d,a + 3d$，此时公差为2d.若有6项、8项······时，可同理设出.

答案： 2.d
3.2d

[例1 (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为-8，求这四个数.

答案： ［例1］［解］
(1)设这三个数依次为a-d，a，a+d，
则$\begin{cases}(a-d)+a+(a+d)=9,\\(a-d)a=6(a+d),\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=3,\\d=-1,\end{cases}$所以这三个数为4,3,2.
(2)设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d
(公差为2d)，
依题意得2a=2且(a-3d)(a+3d)=-8，
即a=1，$a^{2}-9d^{2}=-8，$
所以$d^{2}=1，$所以d=1或d=-1.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，
所以d=1，故所求的四个数为-2,0,2,4.

跟踪训练
1.设数列$\{ a_n \}$是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 (B)

A.1
B.2
C.4
D.8

答案： 跟踪训练1.B由题意设前三项为$a-d$，$a$，
$a+d$，所以得$\begin{cases}a-d+a+a+d=12,\\a(a-d)(a+d)=48,\end{cases}$
解得$a=4$，$d=\pm2$，又因为$\{a_{n}\}$是递增的
等差数列，所以$d=2$，
所以首项$a_{1}=4-2=2$.故B项正确.

[例2 (多选)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱?”.关于这个问题，下列说法正确的是　　　　　　 (AD)

A.戊得钱是甲得钱的一半
B.乙得钱比丁得钱多$\frac {1} {2}$钱
C.甲、丙得钱的和是乙得钱的3倍
D.丁、戊得钱的和比甲得钱多$\frac {1} {6}$钱

答案： ［例2］［答案］AD
［解析］依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱
分别为$a-2d$，$a-d$，$a$，$a+d$，$a+2d$，且$a-2d+a-d=a+a+d+a+2d$，即$a=-6d$，
又$\because a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a$
$=5$，
$\therefore a=1$，$d=-\frac{1}{6}$，即$a-2d=1-2×(-\frac{1}{6})=\frac{4}{3}$，$a-d=1-(-\frac{1}{6})=\frac{7}{6}$，$a+d=1+(-\frac{1}{6})=\frac{5}{6}$，$a+2d=1+2×(-\frac{1}{6})=\frac{2}{3}$，
$\therefore$甲得$\frac{4}{3}$钱，乙得$\frac{7}{6}$钱，丙得1钱，丁得
$\frac{5}{6}$钱，戊得$\frac{2}{3}$钱，则有如下结论：
戊得钱是甲得钱的一半，故A正确；
乙得钱比丁得钱多$\frac{7}{6}-\frac{5}{6}=\frac{1}{3}$钱，故B
错误；
甲、丙得钱的和是乙得钱的$\frac{4}{3}+\frac{7}{6}+1=\frac{3}{2}$倍，故C错误；
丁、戊得钱的和比甲得钱多$\frac{5}{6}+\frac{2}{3}-\frac{4}{3}=\frac{1}{6}$
钱，故D正确.