《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 已知物体做直线运动的方程为$s = s(t)$(位移单位：m，时间单位：s)，则$s'(4) = 10$m/s表示的意义是 (D)

A.经过4 s后物体向前走了10 m
B.物体在前4 s内的平均速度为10 m/s
C.物体在第4 s内向前走了10 m
D.物体在第4 s末的瞬时速度为10 m/s

答案： 1.D

2. $f(x) = x^2$在$x = 1$处的导数为 (B)

A.$2x$
B.$2$
C.$-2$
D.$\pm 2$

答案： 2.B $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1 + 2\Delta x+(2\Delta x)^2 - 1}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}(2 + \Delta x)=2$。

3. 已知函数$f(x) = -x^2$，则$\lim_{h \to 0} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} =$ (D)

A.2
B.$-2$
C.4
D.$-4$

答案： 3.D 因为$f(x)=-x^2$，
则$\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{f(2 + h)-f(2)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{-(2 + h)^2-(-4)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{-4h - h^2}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}(-4 - h)=-4$。

4. 函数$y = 3x^2 - 2$在$x = 1$处的导数为6.

答案： 4.答案:6
解析:$f'(1)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{3(1+\Delta x)^2 - 2 - 3×1^2 + 2}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{3 + 6\Delta x+3(\Delta x)^2 - 3}{\Delta x}=6$。

如图，割线$P_0P$的斜率$k=$$ f(x) - f(x_0) \over x - x_0 $.
记$\Delta x = x - x_0$，当点$P$沿着曲线$y = f(x)$无限趋近于点$P_0$时，即当$\Delta x \to 0$时，$k$无限趋近于函数$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数，因此，函数$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数的几何意义是曲线$y = f(x)$在点$P(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率$k_0$，即$k_0=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0)$.
相应地，切线方程为$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.

答案： 割线$P_0P$的斜率$k = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

例1 已知曲线$C: y = x^3$.
(1) 求曲线$C$在横坐标为$x = 1$的点处的切线方程；
(2) 求曲线$C$过点$(1,1)$的切线方程.

答案： [例1] [解]
(1)将$x = 1$代入曲线$C$的方程得$y = 1$，所以切点$P(1,1)$。
$y'\big|_{x = 1} = \lim_{\Delta x \to 0} {\Delta y \over \Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} {(1 + \Delta x)^3 - 1 \over \Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} {3 + 3\Delta x + (\Delta x)^2} = 3$。
所以所求切线的斜率为$k = y'\big|_{x = 1} = 3$，
所以曲线在点$P(1,1)$处的切线方程为$y - 1 = 3(x - 1)$，
即$3x - y - 2 = 0$。
(2)设切点为$Q(x_0,y_0)$，可得所求切线斜率为$y'\big|_{x = x_0} = 3x_0^2$，
所以由题意可知，即$y - x_0^3 = 3x_0^2(x - x_0)$。
又切线过点$(1,1)$，则有$1 - x_0^3 = 3x_0^2(1 - x_0)$，
即$(x_0 - 1)(2x_0^2 - x_0 - 1) = 0$，解得$x_0 = 1$或$x_0 = -\frac{1}{2}$。
①当$x_0 = 1$时，切点坐标为$(1,1)$，相应的切线方程为$3x - y - 2 = 0$。
②当$x_0 = -\frac{1}{2}$时，切点坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{8})$，相应的切线方程为$y + \frac{1}{8} = \frac{3}{4}(x + \frac{1}{2})$，
即$3x - 4y + 1 = 0$。
所以，曲线$C$过点$(1,1)$的切线方程为$3x - y - 2 = 0$或$3x - 4y + 1 = 0$。