《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

[例 2]
某人买了一辆价值 13.5 万元的新车，专家预测这种车每年按 10%的速度贬值.
(1) 用一个式子表示$n(n\in\mathbf{N}^{*})$年后这辆车的价值.
(2) 如果他打算用满 4 年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？（结果精确到 0.1）

答案： [例] [解]
(1)从第一年起，每年车的价
值(万元)依次设为$a_1,a_2,a_3,·s,a_n$，
由题意，得$a_1=13.5,a_2=13.5(1-10\%)$，
$a_3=13.5(1-10\%)^2,·s$
由等比数列的定义，知数列$\{ a_n \}$是等比
数列，
首项$a_1=13.5$，公比$q=1-10\%=0.9$，
$\therefore a_n=a_1 · q^{n-1}=13.5 × 0.9^{n-1}$，
$\therefore n$年后车的价值为$a_{n+1}=13.5 × 0.9^n$(万
元).
(2)由
(1)得$a_5=a_1 · q^4=13.5 × 0.9^4 \approx$
8.9(万元)，
用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到
8.9万元.

跟踪训练
3. 在高层建筑中，为了优化建筑结构，减少风荷载影响，设计师可能会将建筑设计成底面楼层高度比较高，随着楼层往上逐步按照等比数列递减的“金字塔”形状，已知某高层建筑共 10 层，第 2 层高度为$4\sqrt{3}m$，第$n$层高度记为$a_{n}m$，$\{a_{n}\}$是公比为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的等比数列，若第$k$层高度小于 6 m，则$k$的最小值为(C)

A.6
B.5
C.4
D.3

答案： 跟踪训练 3.C 由题意得$a_2=4\sqrt{3},q=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则$a_1=8$，故$a_n=8 × (\frac{\sqrt{3}}{2})^{n-1}$
由题意得$8 × (\frac{\sqrt{3}}{2})^{k-1}＜6$，解得$k＞3$，即$k$
的最小值是4.

4. 如图中的三角形称为谢尔宾斯基三角形. 每个图都是取前一个图中的每个黑色三角形三边的中点将其分成四个小三角形，并将中间三角形变为白色，白色三角形不变. 若第一个三角形的面积为 1，第$n$个图中白色部分的面积记为$a_{n}$，则$a_{n}=$$1-(\frac{3}{4})^{n-1}(n \in N^*)$.

答案： 4.答案$1-(\frac{3}{4})^{n-1}(n \in N^*)$
解析：观察可知每个图形中黑色三角形的面
积一致，假设第n个图中黑色三角形的面
积为$b_n$，则$b_n=\frac{3}{4}b_{n-1}(n \geq 2,n \in N^*)$，$b_1=1$，显然$\{ b_n \}$是等比数列，公比为$\frac{3}{4}$，即
$b_n=(\frac{3}{4})^{n-1}$
所以$a_n=1-(\frac{3}{4})^{n-1}(n \in N^*)$.

[例 3]
已知数列$\{a_{n}\}$的首项$a_{1}=\frac{3}{5}$，且满足$a_{n + 1}=\frac{3a_{n}}{2 + a_{n}}$. 证明：
(1) 数列$\{\frac{1}{a_{n}} - 1\}$为等比数列；
(2) 数列$\{\frac{1}{a_{n}} - 1\}$中的任意三项均不能构成等差数列.

答案： [例3] [证明]
(1)由$a_{n+1}=\frac{3a_n}{2+a_n}$，得
$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2+a_n}{3a_n}=\frac{2}{3a_n}+\frac{1}{3}$，可得$\frac{1}{a_{n+1}}-1=\frac{2}{3}(\frac{1}{a_n}-1)$，
由$a_1=\frac{3}{5}$可得$\frac{1}{a_1}-1=\frac{2}{3} \neq 0$，故$\frac{1}{a_{n+1}}-1 \neq 0$，
故$\frac{\frac{1}{a_{n+1}}-1}{\frac{1}{a_n}-1}=\frac{2}{3}$，所以数列$\{ \frac{1}{a_n}-1 \}$是首
项为$\frac{2}{3}$，公比为$\frac{2}{3}$的等比数列.
(2)设数列$\{ \frac{1}{a_n}-1 \}$的通项为$b_n$，则$b_n=(\frac{1}{a_1}-1) · (\frac{2}{3})^{n-1}=(\frac{2}{3})^n$，
设$b_r,b_s,b_t(r＜s＜t)$为数列$\{ b_n \}$的任意
三项，易得$b_r＞b_s＞b_t$，
若这三项能构成等差数列，只能是$2b_s=b_r+b_t$，
所以$2(\frac{2}{3})^s=(\frac{2}{3})^r+(\frac{2}{3})^t \Rightarrow 2 ×$
$3^{-s} · 2^{s-r}=3^{-r}+2^{t-r}$，此式的左边为偶
数，右边为奇数，
所以数列$\{ \frac{1}{a_n}-1 \}$中的任意三项均不能构
成等差数列.