《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

[例 3] 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产. 假设该企业第一年年初有资金 5 000 万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了 50％，预计以后每年资金年增长率与第一年相同. 公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金$t ( t \leqslant 2 5 0 0 )$万元，并将剩余资金全部投入下一年生产. 设第 $n$ 年年底企业上缴资金后的剩余资金为$a _ { n }$万元.
(1)判断$\{ a _ { n } - 2 t \}$是否为等比数列? 并说明理由.
(2)若企业每年年底上缴资金$t = 1 5 0 0$，第$m ( m$为正整数$)$年年底企业的剩余资金超过 21 000 万元，求$m$的最小值.

答案： [例3][解]
(1)由题意可得：$a_1=5\ 000(1+50\%)-t$，$a_2=a_1(1+50\%)-t$，
进而可知：$a_n=a_{n-1}(1+50\%)-t(n\in N^*,n\geq2)$，
由此可得：$a_n-2t=\frac{3}{2}(a_{n-1}-2t)$，即：$\frac{a_n-2t}{a_{n-1}-2t}=\frac{3}{2}(n\in N^*)$，
当$t＜2500$时，$a_1-2t=7500-3t＞0$，
故得证：$\{a_n-2t\}$是以$7500-3t$为首项，$\frac{3}{2}$为公比的等比数列.
当$t=2500$时，$a_1-2t=7500-3t=0$，故$\{a_n-2t\}$不是等比数列.
(2)当$t=1500$时，由
(1)可知：$\{a_n-3000\}$是以$3000$为首项，$\frac{3}{2}$为公比的等比数列，
故$a_n-3000=3000·(\frac{3}{2})^{n-1}$，$a_n=3000·(\frac{3}{2})^{n-1}+3000$，
由于第$m$年年底企业的剩余资金超过$21000$万元，
即：$a_m=3000·(\frac{3}{2})^{m-1}+3000＞21000$，由于$\{a_n\}$为递增数列，且$a_5=18187.5＜21000$，$a_6=25781.25＞21000$，
综上可知：$m$的最小值为6.

跟踪训练
4. 某牧场今年初牛的存栏数为 1 200，预计以后每年存栏数的增长率为 8％，且每年年底卖出 100 头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为$a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , ·s .$（参考数据：$1 . 0 8 ^ { 8 } \approx 1 . 8 5 0 9$，$1 . 0 8 ^ { 9 } \approx 1 . 9 9 9 0$，$1 . 0 8 ^ { 1 0 } \approx 2 . 1 5 8 9$ .）
(1)写出一个递推公式，表示$a _ { n + 1 }$与$a _ { n }$之间的关系；
(2)将(1)中的递推关系表示成$a _ { n + 1 } - k = r ( a _ { n } - k )$的形式，其中$k , r$为常数；
(3)求$S _ { 9 } = a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + ·s + a _ { 9 }$的值（精确到 1）.

答案： 跟踪训练4.解：
(1)因为某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且每年年底卖出100头牛，所以$a_1=1200$，且$a_{n+1}=1.08a_n-100$.
(2)将$a_{n+1}-k=r(a_n-k)$化成$a_{n+1}=ra_n-rk+k$，
因为$a_{n+1}=1.08a_n-100$，
所以比较系数，可得$\begin{cases}r=1.08,\\k-rk=-100,\end{cases}$解得$\begin{cases}r=1.08,\\k=1250.\end{cases}$
所以
(1)中的递推公式可以化为$a_{n+1}-1250=1.08(a_n-1250)$.
(3)由
(2)可知，数列$\{a_n-1250\}$是以$-50$为首项，1.08为公比的等比数列，
则$(a_1-1250)+(a_2-1250)+·s+(a_9-1250)=\frac{-50(1-1.08^9)}{1-1.08}=\frac{-50(1-1.9990)}{-0.08}\approx-624.4$.
所以$S_9=a_1+a_2+a_3+·s+a_9=1250×9-624.4=10625.6\approx10626$.