《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

例2
若数列$\{ a_{n}\}$的前n项和$S_{n}=2n^{2}-3n$,求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式,并判断数列$\{ a_{n}\}$是否为等差数列,若是,请证明;若不是,请说明理由.

答案： [例2][解]当$n = 1$时，$a_1 = S_1 = -1$；
当$n \geq 2$时，$a_n = S_n - S_{n - 1} = 2n^2 - 3n - 2(n - 1)^2 + 3(n - 1) = 4n - 5$，
经检验，当$n = 1$时，$a_n = 4n - 5$不成立，故$a_n = \begin{cases}-2, n = 1, \\4n - 5, n \geq 2.\end{cases}$
故数列$\{a_n\}$不是等差数列，数列$\{a_n\}$是从第二项起以4为公差的等差数列.

跟踪训练
2. 已知等差数列的公差为d,它的前n项和$S_{n}=n^{2}$,那么(B)

A.$a_{n}=2n - 1,d=-2$
B.$a_{n}=2n - 1,d = 2$
C.$a_{n}=-2n + 1,d=-2$
D.$a_{n}=-2n + 1,d = 2$

答案： 跟踪训练2.因为$S_n = n^2$，所以$n \geq 2$时，
$a_n = S_n - S_{n - 1} = n^2 - (n - 1)^2 = 2n - 1$，
又因为$n = 1$时，$a_1 = S_1 = 1^2 = 1$，符合上式，
故$a_n = 2n - 1$，所以公差$d = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2$.

3. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前n项和$S_{n}=(a - 2)n^{2}+n + a,n\in\mathbf{N}^{*}$.若$\{ a_{n}\}$是等差数列,则$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_n = -4n + 3$.

答案： 3.答案：$a_n = -4n + 3$
解析：由$S_n = (a - 2)n^2 + n + a$知，
当$n = 1$时，$a_1 = S_1 = 2a - 1$；当$n \geq 2$时，$a_n = S_n - S_{n - 1} = 2(a - 2)n + (3 - a)$，
此时，当$n = 2$时，$a_2 = 4(a - 2) + (3 - a) = 3a - 5$，
当$n \geq 2$时，$a_{n + 1} - a_n = 2(a - 2)$，而$a_2 - a_1 = 3a - 5 - (2a - 1) = a - 4$，若数列$\{a_n\}$是等差数列，则$2(a - 2) = a - 4$，所以$a = 0$，则$a_n = -4n + 3$.