《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

跟踪训练
1. 已知数列 $ \{ a_{n}\} $ 满足：$ \frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\frac{a_{3}}{2^{3}}+·s+\frac{a_{n}}{2^{n}}=n(n\in \mathbf{N}^{*}) $，数列 $ \{ b_{n}\} $ 满足 $ b_{n}=\frac{1}{a_{n}+2^{50}} $.
(1) 求数列 $ \{ a_{n}\} $ 的通项公式；
(2) 求 $ b_{1}+b_{2}+·s +b_{99} $.

答案： 解：
(1)当$n = 1$时，$a_{1}=2$；
当$n\geq2$时，$\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\frac{a_{3}}{2^{3}}+·s+\frac{a_{n}}{2^{n}} = n$ ①，
$\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\frac{a_{3}}{2^{3}}+·s+\frac{a_{n - 1}}{2^{n - 1}}=n - 1$ ②，
①-②得：$\frac{a_{n}}{2^{n}} = 1$，
$\therefore a_{n}=2^{n}$，当$n = 1$时，$a_{1}=2$，
$\therefore a_{n}=2^{n}$。
(2)$\because b_{n}=\frac{1}{2^{n}+2^{50}}$，
$\therefore b_{n}+b_{100 - n}=\frac{1}{2^{n}+2^{50}}+\frac{1}{2^{100 - n}+2^{50}}$
$=\frac{2^{n}+2^{50}}{2^{n + 250}·2^{n}}+\frac{2^{n}}{(2^{n}+2^{50})2^{50}}$
$=\frac{2^{50}+2^{n}}{(2^{n}+2^{50})2^{50}}$
$=\frac{1}{2^{50}}$，
$\therefore b_{1}+b_{2}+b_{3}+·s+b_{99}=\frac{1}{2^{1}+2^{50}}+$
$\frac{1}{2^{2}+2^{50}}+·s+\frac{1}{2^{99}+2^{50}}$ ①，
$b_{99}+b_{98}+b_{97}+·s+b_{2}+b_{1}=\frac{1}{2^{99}+2^{50}}+$
$\frac{1}{2^{98}+2^{50}}+·s+\frac{1}{2^{1}+2^{50}}$ ②，
又$b_{1}+b_{99}=\frac{1}{2^{50}}$，$\therefore$①+②得：$2(b_{1}+b_{2}$
$+b_{3}+·s+b_{99})=\frac{99}{2^{50}}$，
$\therefore b_{1}+b_{2}+·s+b_{99}=\frac{99}{2^{51}}$.

[例 2] 已知等差数列 $ \{ a_{n}\} $ 的首项为 1，公差 $ d = 2 $. 数列 $ \{ b_{n}\} $ 为公比 $ q = 2 $ 的等比数列，且 $ b_{2} $，$ b_{3}+3 $，$ b_{4} $ 成等差数列.
(1) 求数列 $ \{ a_{n}\} $ 和数列 $ \{ b_{n}\} $ 的通项公式；
(2) 若 $ c_{n}=\begin{cases}a_{n},n 为奇数,\\b_{n},n 为偶数,\end{cases} $ 求数列 $ \{ c_{n}\} $ 的前 $ 2n $ 项和 $ T_{2n} $.
课堂笔记：
思维提升
分组求和的适用题型
一般情况下形如 $ c_{n}=a_{n}\pm b_{n} $，其中数列 $ \{ a_{n}\} $ 与 $ \{ b_{n}\} $ 一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列 $ \{ c_{n}\} $ 的前 $ n $ 项和，分别利用等差数列和等比数列的前 $ n $ 项和公式求和即可.

答案： [解]
(1)由于等差数列$\{ a_{n}\}$的首
项为$1$，公差$d = 2$，所以$a_{n}=2n - 1$，
由数列$\{ b_{n}\}$为公比是$2$的等比数列且$b_{2}$，
$b_{3}+3$，$b_{4}$成等差数列，
知$2(b_{3}+3)=b_{2}+b_{4}$，$2(4b_{1}+3)=2b_{1}+8b_{1}$，解得$b_{1}=3$，
所以$b_{n}=3·2^{n - 1}$。
(2)由
(1)知，$c_{n}=\begin{cases}2n - 1,n为奇数,\\3·2^{n - 1},n为偶数.\end{cases}$
$T_{2n}=1 + 3·2+5+3·2^{3}+·s+4n - 3+3·$
$2^{2n - 1}$，
$T_{2n}=(1 + 5 + 9+·s+4n - 3)+(3·2 + 3·$
$2^{3}+·s+3·2^{2n - 1})$
$=\frac{n(1 + 4n - 3)}{2}+3·\frac{2(1 - 4^{n})}{1 - 4}=2n^{2}-n -$
$2 + 2^{2n + 1}$，

跟踪训练
2. 已知数列 $ \{ a_{n}\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $，且满足 $ S_{n}=2a_{n}-1 $.
(1) 求数列 $ \{ a_{n}\} $ 的通项公式；
(2) 已知 $ b_{n}=a_{n}^{2}+\log _{2}a_{n} $，求数列 $ \{ b_{n}\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ T_{n} $.

答案： 解：
(1)$S_{n}=2a_{n}-1$ ①
当$n = 1$时，$a_{1}=2a_{1}-1$，解得$a_{1}=1$，
当$n\geq2$时，$S_{n - 1}=2a_{n - 1}-1$ ②，
式子①-②得$a_{n}=2a_{n}-2a_{n - 1}$，故$a_{n}=$
$2a_{n - 1}$，
因为$a_{1}=1\neq0$，所以$a_{n}\neq0$，所以$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = 2$，
所以$\{ a_{n}\}$是以$1$为首项，$2$为公比的等比数列，
所以$a_{n}=2^{n - 1}$。
(2)$b_{n}=a_{n}^{2}+\log_{2}a_{n}=4^{n - 1}+n - 1$，
$T_{n}=4^{0}+4^{1}+4^{2}+·s+4^{n - 1}+0 + 1 + 2+$
$·s+n - 1=\frac{1×(1 - 4^{n})}{1 - 4}+\frac{n(n - 1)}{2}$
$=\frac{4^{n}-1}{3}+\frac{n(n - 1)}{2}$。