《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

二、直线与平面垂直
[探究导思]
问题2 如图,设$ \boldsymbol{u} $是直线$ l $的方向向量,$ \boldsymbol{n} $是平面$ \alpha $的法向量,当直线$ l $垂直平面$ \alpha $时,$ \boldsymbol{u},\boldsymbol{n} $之间有什么关系?

答案： 提示　平行(共线).

【例2】 如图,在三棱柱$ ABC - A_1B_1C_1 $中,底面是边长为$ 2 $的等边三角形,$ CC_1 = 2 $,$ D,E $分别是线段$ AC,CC_1 $的中点,$ C_1 $在平面$ ABC $内的射影为$ D $.求证:$ A_1C \perp $平面$ BDE $.

答案：
[证明]　连接$C_1D$，
$\because C_1$在平面$ABC$内的射影为$D$，
$\therefore C_1D\perp$平面$ABC$，
又$BD$，$AC\subset$平面$ABC$，
$\therefore C_1D\perp BD$，$C_1D\perp AC$，
又$\triangle ABC$为等边三角形，$D$为$AC$的中点，
$\therefore BD\perp AC$，
则以$D$为坐标原点，$DB$，$DA$，$DC_1$所在直线分别为$x$，$y$，$z$轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
　　　　　　　　
则$D(0,0,0)$，$B(\sqrt{3},0,0)$，$C(0,-1,0)$，$C_1(0,0,\sqrt{3})$，
$E(0,-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，$A_1(0,2,\sqrt{3})$，
$\therefore \overrightarrow{DB}=(\sqrt{3},0,0)$，$\overrightarrow{DE}=(0,-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，
$\overrightarrow{A_1C}=(0,-3,-\sqrt{3})$.
方法一:设平面$BDE$的法向量为$m=(x,y,z)$，
$\because \begin{cases}\overrightarrow{DB}· m = 0,\\\overrightarrow{DE}· m = 0,\end{cases}$
即$\begin{cases}\sqrt{3}x = 0,\\-\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z = 0,\end{cases}$
不妨取$z = 1$，则$y=\sqrt{3}$，则$m=(0,\sqrt{3},1)$，
$\therefore$平面$BDE$的一个法向量为$m=(0,\sqrt{3},1)$，
$\because \overrightarrow{A_1C}=(0,-3,-\sqrt{3})$，
$\therefore \overrightarrow{A_1C}=-\sqrt{3}m$，$\therefore \overrightarrow{A_1C}// m$，
$\therefore A_1C\perp$平面$BDE$.
方法二:$\because \overrightarrow{DB}·\overrightarrow{A_1C}=0$，$\overrightarrow{DE}·\overrightarrow{A_1C}=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=0$，
$\therefore \overrightarrow{DB}\perp \overrightarrow{A_1C}$，$\overrightarrow{DE}\perp \overrightarrow{A_1C}$，
即$BD\perp A_1C$，$DE\perp A_1C$，
又$BD\cap DE = D$，$BD$，$DE\subset$平面$BDE$，
$\therefore A_1C\perp$平面$BDE$.

2. 如图所示,在正方体$ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $中,$ E,F $分别是$ BB_1,D_1B_1 $的中点.求证:$ EF \perp $平面$ B_1AC $.

答案：
证明:方法一:设该正方体的棱长为$2a$，建立如图所示的空间直角坐标系

则$A(2a,0,0)$，$C(0,2a,0)$，$B_1(2a,2a,2a)$，$E(2a,2a,a)$，$F(a,a,2a)$.
所以$\overrightarrow{EF}=(-a,-a,a)$，
$\overrightarrow{AB_1}=(0,2a,2a)$，
$\overrightarrow{AC}=(-2a,2a,0)$.
因为$\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{AB_1}=(-a,-a,a)·(0,2a,2a)=(-a)·0+(-a)·2a + a·2a = 0$，
$\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{AC}=(-a,-a,a)·(-2a,2a,0)=2a^2-2a^2+0 =0$，
所以$EF\perp AB_1$，$EF\perp AC$.
又$AB_1\cap AC = A$，$AB_1$，$AC\subset$平面$B_1AC$，
所以$EF\perp$平面$B_1AC$.
方法二:由方法一知$\overrightarrow{AB_1}=(0,2a,2a)$，$\overrightarrow{AC}=(-2a,2a,0)$.
设平面$B_1AC$的法向量为$m=(x,y,z)$，
则$m·\overrightarrow{AB_1}=2a(y + z)=0$，
$m·\overrightarrow{AC}=-2a(x - y)=0$.
取$x = 1$，则$y = 1$，$z=-1$，
故$m=(1,1,-1)$.
所以$\overrightarrow{EF}=(-a,-a,a)=-a(1,1,-1)=-am$，
所以$\overrightarrow{EF}// m$，
所以$EF\perp$平面$B_1AC$.
方法三:设$\overrightarrow{AB}=a$，$\overrightarrow{AD}=c$，$\overrightarrow{AA_1}=b$，
连接$BD$(图略)，
则$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EB_1}+\overrightarrow{B_1F}$
$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{B_1D_1})$
$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BD})$
$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})$
$=\frac{1}{2}(b + c - a)$.
因为$\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA_1}=a + b$，
所以$\overrightarrow{EF}·\overrightarrow{AB_1}=\frac{1}{2}(b + c - a)·(a + b)=\frac{1}{2}(b^2 - a^2 + c· a + c· b)=\frac{1}{2}(|b|^2-|a|^2+0 + 0)=0$，
所以$\overrightarrow{EF}\perp \overrightarrow{AB_1}$，即$EF\perp AB_1$.
同理，$EF\perp B_1C$.
又$AB_1\cap B_1C = B_1$，$AB_1$，$B_1C\subset$平面$B_1AC$，
所以$EF\perp$平面$B_1AC$.

三、平面与平面垂直
[探究导思]
问题3 设$ \boldsymbol{n_1},\boldsymbol{n_2} $分别是平面$ \alpha,\beta $的法向量,当平面$ \alpha $垂直于平面$ \beta $时,$ \boldsymbol{n_1},\boldsymbol{n_2} $之间有什么关系?

答案： 提示　垂直.