《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

【例1】 已知直线$ l:y = 3x + 3 $，求：
(1)点$ P(4,5) $关于$ l $的对称点的坐标；
(2)直线$ y = x - 2 $关于$ l $的对称直线的方程；
(3)直线$ l $关于点$ A(3,2) $的对称直线的方程.

答案： [解]　
(1)设点P关于直线l的对称点为P'(x',y'),则线段PP'的中点在直线l上,且直线PP'垂直于直线l,
即$\begin{cases} \frac{y'+5}{2}=3×\frac{x'+4}{2}+3\\ \frac{y'-5}{x'-4}×3=-1 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x'=-2\\ y'=7 \end{cases}$
所以点P'的坐标为(-2,7).
(2)解方程组$\begin{cases}y=3x+3\\y=x-2 \end{cases}$，得$\begin{cases}x=-\frac{5}{2}\\y=-\frac{9}{2} \end{cases}$
则点$(-\frac{5}{2},-\frac{9}{2})$在所求直线上.
在直线y=x-2上任取一点M(2,0),
设点M关于直线l的对称点为M'(x₀,y₀),
则$\begin{cases}\frac{y_0}{2}=3×\frac{x_0+2}{2}+3\frac{y_0}{x_0-2}×3=-1 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x_0=-\frac{17}{5}\\y_0=\frac{9}{5} \end{cases}$
点M'$(-\frac{17}{5},\frac{9}{5})$也在所求直线上.
由两点式得直线方程为$\frac{y+\frac{9}{2}}{\frac{9}{5}+\frac{9}{2}}=\frac{x+\frac{5}{2}}{-\frac{17}{5}+\frac{5}{2}}$
化简得7x+y+22=0,即为所求直线方程.
(3)在直线l上取两点E(0,3),F(-1,0),
则E,F关于点A(3,2)的对称点分别为E'(6,1)，F'(7,4).
因为点E',F'在所求直线上,
所以由两点式得所求直线方程为$\frac{y-1}{4-1}=\frac{x-6}{7-6}$，
即3x-y-17=0.

1. (1)求点$ (3,-1) $关于点$ (2,4) $的对称点；

答案： 1.解:
(1)设所求点为(x₀,y₀)，
由中点坐标公式得$\begin{cases}\frac{x_0+3}{2}=2\frac{y_0-1}{2}=4 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x_0=1\\y_0=9 \end{cases}$
即对称点为(1,9).

(2)求直线$ 3x - y - 4 = 0 $关于点$ (2,-1) $的对称直线$ l $的方程.

答案：
(2)方法一:设直线l上任意一点M的坐标为(x,y)，则此点关于点(2,-1)的对称点为M₁(4-x,-2-y),
且M₁在直线3x-y-4=0上,
所以3(4-x)-(-2-y)-4=0,
即3x-y-10=0.
所以所求直线l的方程为3x-y-10=0.
方法二:在直线3x-y-4=0上取两点A(0,-4),B(1,-1),
则点A(0,-4)关于点(2,-1)的对称点为A₁(4,2),点B(1,-1)关于点(2,-1)的对称点为B₁(3,-1).
可得直线A₁B₁的方程为3x-y-10=0,
即所求直线l的方程为3x-y-10=0.
方法三:由平面几何知识易知所求直线l与直线3x-y-4=0平行,
则可设l的方程为3x-y+c=0(c≠-4).
在直线3x-y-4=0上取一点(0,-4)，
则点(0,-4)关于点(2,-1)的对称点(4,2)在直线3x-y+c=0上,
∴3×4-2+c=0,
∴c=-10.
∴所求直线l的方程为3x-y-10=0.

【例2】 一束光线从原点$ O(0,0) $出发，经过直线$ l:8x + 6y = 25 $反射后通过点$ P(-4,3) $，求反射光线的方程及光线从$ O $点到达$ P $点所走过的路程.

答案：
[例2]　[解]　如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a,b),

由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
$\begin{cases}\frac{b}{a}·(-\frac{4}{3})=-1\\8×\frac{a}{2}+6×\frac{b}{2}=25 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=4\\b=3 \end{cases}$
∴A的坐标为(4,3).
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(-4,3)，A,P两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线的方程为y=3.
联立$\begin{cases}y=3\\8x+6y=25 \end{cases}$
解得$\begin{cases}x=\frac{7}{8}\\y=3 \end{cases}$，即交点Q$(\frac{7}{8},3)$
由于反射光线为射线，
故反射光线的方程为y=3$(x\leq\frac{7}{8})$.
由光的性质可知，
光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|,
由A(4,3),P(-4,3)知,|AP|=4-(-4)=8,
即光线从O点到达P点所走过的路程为8.

2. 光线从点$ A(-3,5) $射到$ x $轴上，经$ x $轴反射后经过点$ B(2,10) $，则光线从$ A $到$ B $的路程为()

A.$ 5\sqrt{2} $
B.$ 2\sqrt{5} $
C.$ 5\sqrt{10} $
D.$ 10\sqrt{5} $

答案： question:2. 光线从点$ A(-3,5) $射到$ x $轴上，经$ x $轴反射后经过点$ B(2,10) $，则光线从$ A $到$ B $的路程为(

C

)
A. $ 5\sqrt{2} $
B. $ 2\sqrt{5} $
C. $ 5\sqrt{10} $
D. $ 10\sqrt{5} $
answer:2.C　点A(-3,5)关于x轴的对称点A'(-3,-5)，则光线从A到B的路程即|A'B|的长，|A'B|=$\sqrt{(-5-10)^2+(-3-2)^2}=5\sqrt{10}$，即光线从A到B的路程为$5\sqrt{10}$