《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

【例3】 如图，在正方体$ABEF - DCE'F'$中，$M,N$分别为$AC,BF$的中点，求平面$MNA$与平面$MNB$的夹角的余弦值.

答案： 1/3

3. 如图所示，在几何体$S - ABCD$中，$AD \perp$平面$SCD$，$BC \perp$平面$SCD$，$AD = DC = 2$，$BC = 1$，又$SD = 2$，$\angle SDC = 120°$，求平面$SAD$与平面$SAB$夹角的余弦值.

答案：
3.解:如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{DA}$方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系。

∵∠SDC = 120°，
∴∠SDE = 30°，又SD = 2，
∴点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为$\sqrt{3}$，则有D(0,0,0)，S( - 1,$\sqrt{3}$,0)，A(0,0,2)，B(2,0,1)，设平面SAD 的法向量为$\boldsymbol{m}$ = (x,y,z)，
∵$\overrightarrow{AD}$ = (0,0, - 2)，$\overrightarrow{AS}$ = ( - 1,$\sqrt{3}$, - 2)，
∴$\begin{cases}-2z = 0,\\ - x + \sqrt{3}y - 2z = 0.\end{cases}$取x = $\sqrt{3}$，得平面SAD的一个法向量为$\boldsymbol{m}$ = ($\sqrt{3}$,1,0)。
又$\overrightarrow{AB}$ = (2,0, - 1)，设平面SAB的法向量为$\boldsymbol{n}$ = (a,b,c)，
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}·\overrightarrow{AB}=0,\\\boldsymbol{n}·\overrightarrow{AS}=0,\end{cases}$即$\begin{cases}2a - c = 0,\\ - a + \sqrt{3}b - 2c = 0.\end{cases}$
令a = $\sqrt{3}$，
则$\boldsymbol{n}$ = ($\sqrt{3}$,5,2$\sqrt{3}$)，
∴|$\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle$| = $\frac{|\boldsymbol{m}·\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}$ = $\frac{8}{2\sqrt{10}×2}$ = $\frac{\sqrt{10}}{5}$，故平面SAD与平面SAB夹角的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{5}$。

1. 平面$\alpha$的斜线$l$与它在这个平面上射影$l'$的方向向量分别为$a = (1,0,1)$，$b = (0,1,1)$，则斜线$l$与平面$\alpha$所成的角为(C)

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$

答案： 1.C　l与α所成的角即为a与b所成的角(或其补角)，因为|$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$| = $\frac{|\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}|}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}$ = $\frac{1}{2}$，所以斜线l与平面α所成的角为60°。

2. 已知两平面的法向量分别为$m = (0,\sqrt{2},0)$，$n = (\sqrt{2},\sqrt{2},2)$，则两平面所成的二面角为(C)

A.$60°$
B.$30°$或$150°$
C.$60°$或$120°$
D.$90°$

答案： 2.C　$\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle$ = $\frac{\boldsymbol{m}·\boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}$ = $\frac{2}{2×2}$ = $\frac{1}{2}$，
所以$\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle$ = 60°，
因为二面角与二面角的两个半平面的法向量夹角相等或者互补，
所以两平面所成的二面角为60°或120°。

3. 如图所示，点$A,B,C$分别在空间直角坐标系$Oxyz$的三条坐标轴上，$\overrightarrow{OC} = (0,0,2)$，平面$ABC$的一个法向量为$n = (2,1,2)$，平面$ABC$与平面$ABO$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta = $$\frac{2}{3}$$$.

答案： 3.解析:$\cosθ$ = $\frac{|\overrightarrow{OC}·\boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{OC}||\boldsymbol{n}|}$ = $\frac{4}{2×3}$ = $\frac{2}{3}$。
答案:$\frac{2}{3}$

4. 如图，正三角形$ABC$与正三角形$BCD$所在的平面互相垂直，则直线$CD$与平面$ABD$所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$.

答案：
4.解析:如图，取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz。

设BC = 1，
则A(0,0,$\frac{\sqrt{3}}{2}$)，B(0, - $\frac{1}{2}$,0)，C(0,$\frac{1}{2}$,0)，
D($\frac{\sqrt{3}}{2}$,0,0)，
所以$\overrightarrow{BA}$ = (0,$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$)，$\overrightarrow{BD}$ = ($\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{1}{2}$,0)，
$\overrightarrow{CD}$ = ($\frac{\sqrt{3}}{2}$, - $\frac{1}{2}$,0)。
设平面ABD的一个法向量为$\boldsymbol{n}$ = (x,y,z)，
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}·\overrightarrow{BA}=0,\\\boldsymbol{n}·\overrightarrow{BD}=0,\end{cases}$所以$\begin{cases}\frac{1}{2}y + \frac{\sqrt{3}}{2}z = 0,\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = 0.\end{cases}$
取x = 1，则y = - $\sqrt{3}$，z = 1，
所以$\boldsymbol{n}$ = (1, - $\sqrt{3}$,1)，
所以|$\cos\langle\boldsymbol{n},\overrightarrow{CD}\rangle$| = $\frac{\sqrt{15}}{5}$，
因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$。
答案:$\frac{\sqrt{15}}{5}$