《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

【例3】 在直线$ l:x - y - 1 = 0 $上求两点$ P,Q $使得：
(1)$ P $到$ A(4,1) $与$ B(0,4) $的距离之差最大；
(2)$ Q $到$ A(4,1) $与$ C(3,0) $的距离之和最小.

答案：
[解]　
(1)如图,设点B关于l的对称点B'的坐标为(a,b),连接BB',则$k_{BB'}· k_l=-1$，即$\frac{b-4}{a}×1=-1$,

∴a+b-4=0,①
∵BB'的中点$(\frac{a}{2},\frac{b+4}{2})$在直线l上,
∴$\frac{a}{2}-\frac{b+4}{2}-1=0$，即a-b-6=0.②
由①②得$\begin{cases}a=5\\b=-1 \end{cases}$
∴点B'的坐标为(5,-1).
于是AB'所在直线的方程为$\frac{y-1}{-1-1}=\frac{x-4}{5-4}$，
即2x+y-9=0.
易知||PB|-|PA||=||PB'|-|PA||，当且仅当P，B'，A三点共线时，||PB'|-|PA||最大.
∴联立直线l与AB'的方程，解得$x=\frac{10}{3}$，$y=\frac{7}{3}$，
即l与AB'的交点坐标为$(\frac{10}{3},\frac{7}{3})$.
故点P的坐标为$(\frac{10}{3},\frac{7}{3})$.
(2)如图，设点C关于l的对称点为C'，可求得C'的坐标为(1,2),

∴AC'所在直线的方程为x+3y-7=0.
易知|QA|+|QC|=|QA|+|QC'|，当且仅当Q，A，C'三点共线时，|QA|+|QC|最小.
∴联立直线AC'与l的方程，解得$x=\frac{5}{2}$，$y=\frac{3}{2}$，
即AC'与l的交点坐标为$(\frac{5}{2},\frac{3}{2})$.
故点Q的坐标为$(\frac{5}{2},\frac{3}{2})$.

3. 已知点$ M(3,5) $，在直线$ l:x - 2y + 2 = 0 $和$ y $轴上各找一点$ P $和$ Q $，使$ \triangle MPQ $的周长最小.

答案： 3.解:由点M(3,5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M₁(5,1).同样可求得点M关于y轴的对称点为M₂(-3,5).由M₁及M₂两点可得到直线M₁M₂的方程为x+2y-7=0.
解方程组$\begin{cases}x+2y-7=0\\x-2y+2=0 \end{cases}$，得交点P$(\frac{5}{2},\frac{9}{4})$.令x=0，得M₁M₂与y轴的交点Q$(0,\frac{7}{2})$.所以当P和Q的坐标分别为$(\frac{5}{2},\frac{9}{4})$，$(0,\frac{7}{2})$时，△MPQ的周长最小.

1. 若点$ (a,b) $关于直线$ y = 2x $的对称点在$ x $轴上，则$ a,b $满足的条件为()

A.$ 4a + 3b = 0 $
B.$ 3a + 4b = 0 $
C.$ 2a + 3b = 0 $
D.$ 3a + 2b = 0 $

答案： question:1. 若点$ (a,b) $关于直线$ y = 2x $的对称点在$ x $轴上，则$ a,b $满足的条件为(

A

)
A. $ 4a + 3b = 0 $
B. $ 3a + 4b = 0 $
C. $ 2a + 3b = 0 $
D. $ 3a + 2b = 0 $
answer:1.A　设对称点为(x₀,0),
由$\begin{cases}\frac{b}{a-x_0}×2=-1\frac{b}{2}=2×\frac{a+x_0}{2} \end{cases}$
消去x₀，
得4a+3b=0，故选A.

2. 点$ P(2,5) $关于直线$ l:x + y + 1 = 0 $的对称点的坐标为()

A.$ (6,-3) $
B.$ (3,-6) $
C.$ (-6,-3) $
D.$ (-6,3) $

答案： question:2. 点$ P(2,5) $关于直线$ l:x + y + 1 = 0 $的对称点的坐标为(

C

)
A. $ (6,-3) $
B. $ (3,-6) $
C. $ (-6,-3) $
D. $ (-6,3) $
answer:2.C　设点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(x,y),
则$\begin{cases}\frac{y-5}{x-2}=1\frac{x+2}{2}+\frac{y+5}{2}+1=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-6\\y=-3 \end{cases}$
故点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(-6,-3).

3. 直线$ 2x + 3y - 6 = 0 $关于点$ (1,-1) $对称的直线方程是()

A.$ 2x + 3y + 7 = 0 $
B.$ 3x - 2y + 2 = 0 $
C.$ 2x + 3y + 8 = 0 $
D.$ 3x - 2y - 12 = 0 $

答案： question:3. 直线$ 2x + 3y - 6 = 0 $关于点$ (1,-1) $对称的直线方程是(

C

)
A. $ 2x + 3y + 7 = 0 $
B. $ 3x - 2y + 2 = 0 $
C. $ 2x + 3y + 8 = 0 $
D. $ 3x - 2y - 12 = 0 $
answer:3.C
∵直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线斜率不变，
∴设对称后的直线方程l'为2x+3y+c=0，又点(1,-1)到两直线的距离相等，
∴$\frac{|2-3+c|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{|2-3-6|}{\sqrt{2^2+3^2}}$，化简得|c-1|=7，解得c=-6或c=8，
∴l'的方程为2x+3y-6=0(舍)或2x+3y+8=0，即直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是2x+3y+8=0.

4. 已知入射光线经过点$ M(-3,4) $，被直线$ l:x - y + 3 = 0 $反射，反射光线经过点$ N(2,6) $，则反射光线所在直线的方程为.

答案： question:4. 已知入射光线经过点$ M(-3,4) $，被直线$ l:x - y + 3 = 0 $反射，反射光线经过点$ N(2,6) $，则反射光线所在直线的方程为

6x-y-6=0

.
answer:4.解析:设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M'(a,b),
则反射光线所在直线过点M',
所以$\begin{cases}\frac{b-4}{a-(-3)}=-1\frac{-3+a}{2}-\frac{b+4}{2}+3=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=0\end{cases}$，即M'(1,0),
又反射光线经过点N(2,6),
所以所求直线的方程为$\frac{y-0}{6-0}=\frac{x-1}{2-1}$，
即6x-y-6=0.
答案:6x-y-6=0