《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

【例2】 (1)(多选)如图，在长方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，下列各式运算结果为$\overrightarrow{BD_1}$的是(AB)

A. $\overrightarrow{A_1D_1} - \overrightarrow{A_1A} - \overrightarrow{AB}$
B. $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB_1} - \overrightarrow{D_1C_1}$
C. $\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DD_1}$
D. $\overrightarrow{B_1D_1} - \overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{DD_1}$
(2) 化简$(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD}) - (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD}) = $0。

答案：
(1)[解析]　A中，$\overrightarrow{A_{1}D_{1}}-\overrightarrow{AA_{1}}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD_{1}}-\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BD_{1}}$;
B中，$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BB_{1}}-\overrightarrow{D_{1}C}=\overrightarrow{BC_{1}}+\overrightarrow{C_{1}D_{1}}=\overrightarrow{BD_{1}}$;
C中，$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DD_{1}}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{DD_{1}}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{B_{1}D_{1}}\neq\overrightarrow{BD_{1}}$;
D中，$\overrightarrow{B_{1}D_{1}}-\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{DD_{1}}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{DD_{1}}=\overrightarrow{BD_{1}}+\overrightarrow{AA_{1}}\neq\overrightarrow{BD_{1}}$.故选AB.
[答案]AB
(2)[解析] 方法一:(转化为加法运算)
$(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD})-(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD})$
=$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$
=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}$
=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}=0$.
方法二:(转化为减法运算)
$(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD})-(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD})$
=$(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CD})$
=$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}=0$.
[答案] 0

3. 对于空间中的非零向量$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}$，其中一定不成立的是(B)

A.$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
B.$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$
C.$|\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AC}|$
D.$|\overrightarrow{AB}| - |\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BC}|$

答案： 3.B　根据空间向量的加减法运算，
对于A，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$恒成立;
对于C，当$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BC}$方向相同时，有$|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AC}|$;
对于D，当$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$方向相同且$|\overrightarrow{AB}|\geq|\overrightarrow{AC}|$时，有$|\overrightarrow{AB}|-|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BC}|$;
对于B，由向量减法可知$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$，又$\overrightarrow{BC}$为非零向量，所以B一定不成立.

4. 如图，已知空间四边形$ABCD$，连接$AC, BD$，$E, F, G$分别是$BC, CD, DB$的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果。

(1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{DC}$；
(2) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DG} - \overrightarrow{CE}$。

答案：
4.解:
(1)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$,
如图中向量$\overrightarrow{AD}$.
(2)$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DG}-\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{AF}$,如
图中向量$\overrightarrow{AF}$.

三、空间向量的数乘运算
梳理导学

答案： 三、梳理导学：相同 相反 $|\lambda|$

【例3】 如图，在平行六面体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，设$\overrightarrow{AA_1} = \boldsymbol{a}, \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{b}, \overrightarrow{AD} = \boldsymbol{c}$，$M, N, P$分别是$AA_1, BC, C_1D_1$的中点，试用$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$表示以下各向量：

(1) $\overrightarrow{AP}$；
(2) $\overrightarrow{A_1N}$；
(3) $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NC_1}$。

答案： [例3] [解析]
(1)
∵P是$C_{1}D_{1}$的中点，
$\therefore\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{A_{1}D_{1}}+\overrightarrow{D_{1}P}$
=$\boldsymbol{a}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{D_{1}C_{1}}$
=$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$.
(2)
∵N是BC的中点，
$\therefore\overrightarrow{A_{1}N}=\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}$
=$-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$
=$-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$.
(3)
∵M是$AA_{1}$的中点，
$\therefore\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{AP}$
=$-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b})=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$.
又$\overrightarrow{NC_{1}}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CC_{1}}$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AA_{1}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_{1}}=\frac{1}{2}\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}$,
$\therefore\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NC_{1}}=(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})+(\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c})$
=$\frac{3}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\frac{3}{2}\boldsymbol{c}$.