《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

1. 已知$ F_1(-8, 3) $，$ F_2(2, 3) $，动点$ P $满足$ |PF_1| - |PF_2| = 10 $，则$ P $点的轨迹是 (D)

A.双曲线
B.双曲线的一支
C.直线
D.一条射线

答案： 1.D　$F_1,F_2$是定点，且$\vert F_1F_2\vert = 10$，所以满足条件$\vert PF_1\vert - \vert PF_2\vert = 10$的点$P$的轨迹应为一条射线.

二、双曲线的标准方程及其推导过程
[探究导思]
问题2 类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？

问题3 设双曲线的焦点为$ F_1 $和$ F_2 $，焦距为$ 2c $，而且双曲线上的动点$ P $满足$ ||PF_1| - |PF_2|| = 2a $，其中$ c ＞ a ＞ 0 $，以$ F_1,F_2 $所在直线为$ y $轴，线段$ F_1F_2 $的垂直平分线为$ x $轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？

答案：
问题2　提示　观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线$F_1F_2$是它的一条对称轴，所以以$F_1,F_2$所在直线为$x$轴，线段$F_1F_2$的垂直平分线为$y$轴，建立平面直角坐标系$Oxy$，
详解答案
此时双曲线的焦点分别为$F_1(-c,0),F_2(c,0)$，焦距为$2c$，$c＞0$.
设$P(x,y)$是双曲线上一点，则
$\vert\vert PF_1\vert - \vert PF_2\vert\vert = 2a$（$a$为大于$0$的常数），
因为$\vert PF_1\vert = \sqrt{(x + c)^2 + y^2}$，
$\vert PF_2\vert = \sqrt{(x - c)^2 + y^2}$，
所以$\sqrt{(x + c)^2 + y^2} - \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = \pm 2a$，①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得$(c^2 - a^2)· x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2 - a^2)$，两边同除以$a^2(c^2 - a^2)$，得$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2 - a^2} = 1$.
由双曲线的定义知，$2c ＞ 2a$，即$c ＞ a$，所以$c^2 - a^2 ＞ 0$，类比椭圆标准方程的建立过程，令$b^2 = c^2 - a^2$，其中$b ＞ 0$，代入上式，得$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$.
问题3　提示
$(a ＞ 0,b ＞ 0)$ $(a ＞ 0,b ＞ 0)$ $F_1(-c,0),F_2(c,0)$
$F_1(0,-c),F_2(0,c)$ $c^2 - a^2$

[梳理导学]
双曲线的标准方程

答案： （$a＞0,b＞0$）；（$a＞0,b＞0$）；$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$；$F_1(0,-c)$，$F_2(0,c)$；$c^2=a^2+b^2$

【例2】 (1) 以椭圆$ \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{5} = 1 $长轴的端点为焦点，且经过点$ (3, \sqrt{10}) $的双曲线的标准方程为_.
(2) 焦距为$ 26 $，且经过点$ M(0, 12) $的双曲线的标准方程是_.
(3)（链接教材$ P121 $练习1）根据下列条件，分别求双曲线的标准方程.
① $ c = \sqrt{6} $，经过点$ (-5, 2) $，焦点在$ x $轴上；
② 经过点$ P(3, \frac{15}{4}) $，$ Q(-\frac{16}{3}, 5) $.

答案：
(1)[解析]　由题意得，双曲线的焦点在$x$轴上，且$c = 2\sqrt{2}$.
设双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$，
则有$a^2 + b^2 = c^2 = 8$，$\frac{9}{a^2} - \frac{10}{b^2} = 1$，
解得$a^2 = 3$，$b^2 = 5$.
故所求双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{5} = 1$.
[答案]　$\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{5} = 1$
(2)[解析]　$\because$双曲线经过点$M(0,12)$，
$\therefore M(0,12)$为双曲线的一个顶点，
故焦点在$y$轴上，且$a = 12$.
又$2c = 26$，$\therefore c = 13$，
$\therefore b^2 = c^2 - a^2 = 25$.
$\therefore$双曲线的标准方程为$\frac{y^2}{144} - \frac{x^2}{25} = 1$.
[答案]　$\frac{y^2}{144} - \frac{x^2}{25} = 1$
(3)[解]　①方法一:依题意可设双曲线方程为
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$.
则有$\begin{cases}a^2 + b^2 = 6, \frac{25}{a^2} - \frac{4}{b^2} = 1.\end{cases}$解得$\begin{cases}a^2 = 5, \\b^2 = 1,\end{cases}$
$\therefore$所求双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{5} - y^2 = 1$.
方法二:$\because$焦点在$x$轴上，$c = \sqrt{6}$，
$\therefore$设所求双曲线方程为$\frac{x^2}{\lambda} - \frac{y^2}{6 - \lambda} = 1$（其中$0 ＜ \lambda ＜ 6$）.
$\because$双曲线经过点$(-5,2)$，$\therefore \frac{25}{\lambda} - \frac{4}{6 - \lambda} = 1$，$\therefore \lambda = 5$或$\lambda = 30$（舍去）.
$\therefore$所求双曲线的标准方程是$\frac{x^2}{5} - y^2 = 1$.
②方法一:若焦点在$x$轴上，则设双曲线的方程为
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$，
由于点$P(3,\frac{15}{4})$和$Q(-\frac{16}{3},5)$在双曲线上，
$\therefore \begin{cases}\frac{9}{a^2} - \frac{225}{16b^2} = 1, \frac{256}{9a^2} - \frac{25}{b^2} = 1.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a^2 = -16, \\b^2 = -9.\end{cases}$(舍去).
若焦点在$y$轴上，则设双曲线的方程为
$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$，
将$P,Q$两点坐标代入可得$\begin{cases}\frac{225}{16a^2} - \frac{9}{b^2} = 1, \frac{25}{a^2} - \frac{256}{9b^2} = 1.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a^2 = 9, \\b^2 = 16,\end{cases}$
$\therefore$双曲线的标准方程为$\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$.
综上，双曲线的标准方程为$\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$.
方法二:设双曲线方程为$mx^2 + ny^2 = 1(mn ＜ 0)$，
$\because P,Q$两点在双曲线上，
$\therefore \begin{cases}9m + \frac{225}{16}n = 1, \frac{256}{9}m + 25n = 1.\end{cases}$解得$\begin{cases}m = -\frac{1}{16}, \\n = \frac{1}{9}.\end{cases}$
$\therefore$所求双曲线的标准方程为$\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$.