《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

5.(多选)已知$m, n$是实数，$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$是空间任意向量，下列命题正确的是(AB)

A.$m(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = m\boldsymbol{a} - m\boldsymbol{b}$
B.$(m - n)\boldsymbol{a} = m\boldsymbol{a} - n\boldsymbol{a}$
C.若$m\boldsymbol{a} = m\boldsymbol{b}$，则$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$
D.若$m\boldsymbol{a} = n\boldsymbol{a}$，则$m = n$

答案： 5.AB　$m(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{ma}-\boldsymbol{mb}$,A对;$(\boldsymbol{m}-\boldsymbol{n})\boldsymbol{a}=\boldsymbol{ma}-\boldsymbol{na}$, B对;若$m=0$，则$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$不一定相等，C错;若$\boldsymbol{a}=0$，则$m$,$n$不一定相等，D错.

6. 已知四边形$ABCD$为正方形，$P$是四边形$ABCD$所在平面外一点，$P$在平面$ABCD$上的射影恰好是正方形的中心$O$，$Q$是$CD$的中点，求下列各题中$x, y$的值。
(1) $\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{PQ} + x\overrightarrow{PC} + y\overrightarrow{PA}$；
(2) $\overrightarrow{PA} = x\overrightarrow{PO} + y\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{PD}$。

答案：
6.解:
(1)由图可知，$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{PO}$
=$\overrightarrow{PQ}-\frac{1}{2}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC})$,
$\therefore x=y=-\frac{1}{2}$.
(2)
∵$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PO}$,
$\therefore\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{PO}-\overrightarrow{PC}$.
∵$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=2\overrightarrow{PQ}$,
$\therefore\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{PD}$,
$\therefore\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{PO}-(2\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{PD})$
=$2\overrightarrow{PO}-2\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{PD}$.
$\therefore x=2,y=-2$.

1. 化简$\overrightarrow{PM} - \overrightarrow{PN} + \overrightarrow{MN}$所得的结果是(C)

A.$\overrightarrow{PM}$
B.$\overrightarrow{NP}$
C.$\boldsymbol{0}$
D.$\overrightarrow{MN}$

答案： 1.C　$\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{NM}-\overrightarrow{NM}=0$.

2.(多选)下列命题中，真命题是(ABC)

A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于$0$
D.共线的单位向量都相等

答案： 2.ABC　容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.

3. 如图，在四棱柱的上底面$ABCD$中，$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$，则下列向量相等的是(D)


A.$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{CB}$
B.$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$
C.$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{DB}$
D.$\overrightarrow{DO}$与$\overrightarrow{OB}$

答案： 3.D　对于A，$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{CB}$的方向相反，因而不是相等向量，所以A错误;
对于B，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$的方向相反，因而不是相等向量，所以B 错误;
对于C，$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{DB}$的方向不同，因而不是相等向量，所以C 错误;
对于D，$\overrightarrow{DO}$与$\overrightarrow{OB}$的方向相同，大小相等，是相等向量，因而D正确.

4. 在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，点$M$是$AA_1$的中点，已知$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}, \overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}, \overrightarrow{AA_1} = \boldsymbol{c}$，用$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$表示$\overrightarrow{CM}$，则$\overrightarrow{CM} = $$-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$。

答案： 4.解析:
∵$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AM}$,
又
∵M是$AA_{1}$的中点，
$\therefore\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_{1}}$,
$\therefore\overrightarrow{CM}=-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_{1}}$,
∵$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{c}$,
$\therefore\overrightarrow{CM}=-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}$.
答案: -\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\frac{1}{2}\boldsymbol{c}