《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

(2)已知直线$ l $的一个方向向量$ \boldsymbol{m}=(2,-1,3) $，且直线$ l $过$ A(0,y,3) $和$ B(-1,2,z) $两点，则$ y - z $等于 A

A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ \frac{3}{2} $
D.$ 3 $

答案：
(2)$A(0,y,3)$，$B(-1,2,z)$，$\therefore\overrightarrow{AB}=(-1,2-y,z-3)$，$\because$直线$l$的一个方向向量为$\boldsymbol{m}=(2,-1,3)$，故设$\overrightarrow{AB}=k\boldsymbol{m}$，$\therefore\begin{cases}-1=2k\\2-y=-k\\z-3=3k\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2}\\y=\frac{3}{2}\\z=\frac{3}{2}\end{cases}$，$\therefore y-z=0$.

【例2】 (链接教材$ P28 $例1)如图，在四棱锥$ P - ABCD $中，底面$ ABCD $为矩形，$ PA\perp $平面$ ABCD $，$ E $为$ PD $的中点，$ AB = AP = 1 $，$ AD = \sqrt{3} $，试建立恰当的空间直角坐标系，求：
(1)平面$ ACE $的一个法向量；
(2)直线$ PC $的一个方向向量和平面$ PCD $的一个法向量.

答案：
[例2]　[解]　
(1)因为$PA\perp$平面$ABCD$，底面$ABCD$为矩形，所以$AB,AD,AP$两两垂直.
如图，以$A$为坐标原点，$AB$所在直线为$x$轴建立空间直角坐标系$Axyz$，则$A(0,0,0)$，$D(0,\sqrt{3},0)$，$E\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$，$B(1,0,0)$，$C(1,\sqrt{3},0)$，
于是$\overrightarrow{AE}=\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$，$\overrightarrow{AC}=(1,\sqrt{3},0)$.
设$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$为平面$ACE$的法向量，则$\begin{cases}\boldsymbol{n}·\overrightarrow{AC}=0\\\boldsymbol{n}·\overrightarrow{AE}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}x+\sqrt{3}y=0\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{1}{2}z=0\end{cases}$，所以$\begin{cases}x=-\sqrt{3}y\\z=-\sqrt{3}y\end{cases}$，令$y=-1$，则$x=z=\sqrt{3}$.
所以平面$ACE$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(\sqrt{3},-1,\sqrt{3})$.
　　　　　　　　　　　　　　　
(2)如上图，$P(0,0,1)$，$C(1,\sqrt{3},0)$，所以$\overrightarrow{PC}=(1,\sqrt{3},-1)$即为直线$PC$的一个方向向量.
设平面$PCD$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，因为$D(0,\sqrt{3},0)$，所以$\overrightarrow{PD}=(0,\sqrt{3},-1)$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n}·\overrightarrow{PC}=0\\\boldsymbol{n}·\overrightarrow{PD}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}x+\sqrt{3}y-z=0\\\sqrt{3}y-z=0\end{cases}$，所以$\begin{cases}x=0\\z=\sqrt{3}y\end{cases}$，令$y=1$，则$z=\sqrt{3}$.
所以平面$PCD$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(0,1,\sqrt{3})$.

2. 在正方体$ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $中，$ E $，$ F $分别为棱$ A_1D_1 $，$ A_1B_1 $的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面$ BDD_1B_1 $的一个法向量；
(2)平面$ BDEF $的一个法向量.

答案： 2.解：设正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$的棱长为2，则$D(0,0,0)$，$B(2,2,0)$，$D_1(0,0,2)$，$E(1,0,2)$.
(1)设平面$BDD_1B_1$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(x_1,y_1,z_1)$，$\because\overrightarrow{DB}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{DD_1}=(0,0,2)$，则$\begin{cases}\overrightarrow{DB}·\boldsymbol{n}=0\\\overrightarrow{DD_1}·\boldsymbol{n}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}2x_1+2y_1=0\\2z_1=0\end{cases}$，令$x_1=1$，则$y_1=-1$，$z_1=0$，$\therefore$平面$BDD_1B_1$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(1,-1,0)$.
(2)$\because\overrightarrow{DB}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{DE}=(1,0,2)$，设平面$BDEF$的一个法向量为$\boldsymbol{m}=(x_2,y_2,z_2)$，$\therefore\begin{cases}\overrightarrow{DB}·\boldsymbol{m}=0\\\overrightarrow{DE}·\boldsymbol{m}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}2x_2+2y_2=0\\x_2+2z_2=0\end{cases}$，令$x_2=2$，则$y_2=-2$，$z_2=-1$，$\therefore$平面$BDEF$的一个法向量为$\boldsymbol{m}=(2,-2,-1)$.