《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

【例3】 如图,在正三棱锥$ P - ABC $中,三条侧棱两两互相垂直,$ G $是$ \triangle PAB $的重心,$ E,F $分别为$ BC,PB $上的点,且$ BE : EC = PF : FB = 1 : 2 $.求证:平面$ EFG \perp $平面$ PBC $.

答案：
[证明]　方法一:如图，以三棱锥的顶点$P$为原点，以$PA$，$PB$，$PC$所在直线分别作为$x$轴、$y$轴、$z$轴正方向建立空间直角坐标系.

令$PA = PB = PC = 3$，则$P(0,0,0)$，$A(3,0,0)$，
$F(0,1,0)$，$G(1,1,0)$，
于是$\overrightarrow{PA}=(3,0,0)$，$\overrightarrow{FG}=(1,0,0)$，
故$\overrightarrow{PA} = 3\overrightarrow{FG}$，又$G$不在直线$PA$上，$\therefore \overrightarrow{PA}// \overrightarrow{FG}$.
而$PA\perp$平面$PBC$，$\therefore FG\perp$平面$PBC$.
又$FG\subset$平面$EFG$，$\therefore$平面$EFG\perp$平面$PBC$.
方法二:同方法一，建立空间直角坐标系，
则$P(0,0,0)$，$A(3,0,0)$，$E(0,2,1)$，$F(0,1,0)$，$G(1,1,0)$.
$\therefore \overrightarrow{EF}=(0,-1,-1)$，$\overrightarrow{EG}=(1,-1,-1)$.
设平面$EFG$的法向量为$n=(x,y,z)$，
则有$n\perp\overrightarrow{EF}$，$n\perp\overrightarrow{EG}$.
$\therefore \begin{cases}y + z = 0,\\x - y - z = 0.\end{cases}$令$y = 1$，得$z=-1$，$x = 0$，
即$n=(0,1,-1)$.
显然$\overrightarrow{PA}=(3,0,0)$是平面$PBC$的一个法向量.
又$n·\overrightarrow{PA}=0$，所以$n\perp\overrightarrow{PA}$，
即平面$PBC$的法向量与平面$EFG$的法向量互相垂直，$\therefore$平面$EFG\perp$平面$PBC$.

3. 如图,正方形$ ADEF $所在平面和等腰梯形$ ABCD $所在的平面互相垂直,已知$ BC = 4 $,$ AB = AD = 2 $.
(1) 求证:$ AC \perp BF $;
(2) 在线段$ BE $上是否存在一点$ P $,使得平面$ PAC \perp $平面$ BCEF $? 若存在,求出$ \frac{BP}{PE} $的值;若不存在,请说明理由.

答案：
解:
(1)证明:$\because$平面$ADEF\perp$平面$ABCD$，平面$ADEF\cap$平面$ABCD = AD$，$AF\perp AD$，$AF\subset$平面$ADEF$，
$\therefore AF\perp$平面$ABCD$.
$\because AC\subset$平面$ABCD$，$\therefore AF\perp AC$.过$A$作$AH\perp BC$于$H$(图略)，则$BH = 1$，$AH=\sqrt{3}$，$CH = 3$，
$\therefore AC = 2\sqrt{3}$，$\therefore AB^2+AC^2 = BC^2$，
$\therefore AC\perp AB$.
$\because AB\cap AF = A$，$AB$，$AF\subset$平面$FAB$，
$\therefore AC\perp$平面$FAB$.
$\because BF\subset$平面$FAB$，$\therefore AC\perp BF$.
(2)存在.理由:由
(1)知，$AF$，$AB$，$AC$两两垂直.以$A$为坐标原点，$AB$，$AC$，$AF$所在的直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立如图所示的空间直角坐标系$Axyz$，
　　　　　　　　
则$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(0,2\sqrt{3},0)$，$E(-1,\sqrt{3},2)$.
假设在线段$BE$上存在一点$P$满足题意，则易知点$P$不与点$B$，$E$重合，设$\frac{BP}{PE}=\lambda$，
则$\lambda＞0$，$P(\frac{2 - \lambda}{1 + \lambda},\frac{\sqrt{3}\lambda}{1 + \lambda},\frac{2\lambda}{1 + \lambda})$.
设平面$PAC$的法向量为$m=(x,y,z)$.
由$\overrightarrow{AP}=(\frac{2 - \lambda}{1 + \lambda},\frac{\sqrt{3}\lambda}{1 + \lambda},\frac{2\lambda}{1 + \lambda})$，
$\overrightarrow{AC}=(0,2\sqrt{3},0)$，
得$\begin{cases}m·\overrightarrow{AP}=\frac{2 - \lambda}{1 + \lambda}x+\frac{\sqrt{3}\lambda}{1 + \lambda}y+\frac{2\lambda}{1 + \lambda}z = 0,\\m·\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}y = 0,\end{cases}$
即$\begin{cases}y = 0,\frac{\lambda - 2}{2\lambda}x+\frac{1}{2}z = 0,\end{cases}$
令$x = 1$，则$z=\frac{\lambda - 2}{\lambda}$，
所以$m=(1,0,\frac{\lambda - 2}{2\lambda})$为平面$PAC$的一个法向量.
同理，可求得$n=(1,\frac{\sqrt{3}}{3},1)$为平面$BCEF$的一个法向量.
当$m· n = 1+\frac{\lambda - 2}{2\lambda}=0$，即$\lambda=\frac{2}{3}$时，平面$PAC\perp$平面$BCEF$，故存在满足题意的点$P$，此时$\frac{BP}{PE}=\frac{2}{3}$.

1. 设$ l_1 $的一个方向向量为$ \boldsymbol{a} = (1,3,-2) $,$ l_2 $的一个方向向量为$ \boldsymbol{b} = (-4,3,m) $,若$ l_1 \perp l_2 $,则$ m $等于 $\boldsymbol{(\quad)}$

A.$ 1 $
B.$ \frac{5}{2} $
C.$ \frac{1}{2} $
D.$ 3 $

答案： 1.B　因为$l_1\perp l_2$，所以$a· b = 0$，即$1×(-4)+3×3+(-2)× m = 0$，所以$2m = 9 - 4 = 5$，即$m=\frac{5}{2}$.

2. 设$ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} $分别是两条直线$ a,b $上的方向向量,$ \alpha,\beta $是两个平面,且$ \boldsymbol{a} \perp \alpha,\boldsymbol{b} \perp \beta $,则“$ \alpha \perp \beta $”是“$ \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} $”的 $\boldsymbol{(\quad)}$

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2.C　$a\perp\alpha$，$b\perp\beta$，则$a$是平面$\alpha$的一个法向量，$b$是平面$\beta$的一个法向量，
则由$a\perp b$得$\alpha\perp\beta$，必要性满足，反之若$\alpha\perp\beta$，
则法向量$a\perp b$，充分性满足，应是充要条件.

3. 已知$ A(1,0,0) $,$ B(0,1,0) $,$ C(0,0,1) $三点,$ \boldsymbol{n} = (1,1,1) $,则以$ \boldsymbol{n} $为方向向量的直线与平面$ ABC $的位置关系是 $\boldsymbol{(\quad)}$

A.垂直
B.不垂直
C.平行
D.以上都有可能

答案： 3.A　由题意，$\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{BC}=(0,-1,1)$，
又$n·\overrightarrow{AB}=0$，$n·\overrightarrow{BC}=0$，
所以以$n$为方向向量的直线与平面$ABC$垂直.

4. 在三棱锥$ S - ABC $中,$ \angle SAB = \angle SAC = \angle ACB = 90° $,$ AC = 2 $,$ BC = \sqrt{13} $,$ SB = \sqrt{29} $,则直线$ SC $与$ BC $是否垂直 是. (填“是”或“否”)

答案：
4.解析:如图，以$A$为坐标原点，平行于$BC$的直线为$x$轴，$AC$，$AS$所在直线分别为$y$轴、$z$轴建立空间直角坐标系，
　　　　　　　　　　　　　　　　
则由$AC = 2$，$BC=\sqrt{13}$，$SB=\sqrt{29}$，
得$B(-\sqrt{13},2,0)$，$S(0,0,2\sqrt{3})$，$C(0,2,0)$，
$\overrightarrow{SC}=(0,2,-2\sqrt{3})$，$\overrightarrow{CB}=(-\sqrt{13},0,0)$.
因为$\overrightarrow{SC}·\overrightarrow{CB}=0$，
所以$SC\perp BC$.
答案:是