《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

2. (1) 某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为$ 100 $米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟$ 50 $米的速度从设备正东方向$ 50\sqrt{6} $米的$ A $处出发，沿西北方向走向位于设备正北方向的$ B $处，则这名工作人员被持续监测的时长为(C)

A.$ 1 $分钟
B.$ \frac{3}{2} $分钟
C.$ 2 $分钟
D.$ \frac{5}{2} $分钟

答案：
2.
(1)C　以设备的位置为坐标原点O，其正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，则A(50√6,0)，B(0,50√6)，可得lAB:x + y = 50√6，圆O:x²+y²=10000。记从N处开始被监测，到M处监测结束，因为O到lAB的距离为|OO'| = $\frac{\vert-50\sqrt{6}\vert}{\sqrt{1² + 1²}}=50\sqrt{3}$(米)。

所以|MN| = 2√(MO² - OO'²)=100(米)，故监测时长为$\frac{100}{50}=2$(分钟)。

(2) 如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以$ O $为圆心，以$ 45\sqrt{2} \ m $为半径，$ B $为公园入口，道路$ AB $为东西方向，道路$ AC $经过点$ O $且向正北方向延伸，$ OA = 10 \ m $，$ AB = 100 \ m $，现计划从$ B $处起修一条新路与道路$ AC $相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为(单位：$ m $)(A)


A.$ 100\sqrt{2} $
B.$ 100\sqrt{3} $
C.$ 150\sqrt{2} $
D.$ 150\sqrt{3} $

答案：
(2)A　以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，设修建的新路所在直线方程为kx - y + 100k = 0(k＞0)，则当该直线与圆O相切时，小路长度最小，此时$\frac{\vert100k - 10\vert}{\sqrt{k² + 1}}=45\sqrt{2}$，解得k = 1，此时求得小路长度为100√2m。

1. 如图，圆弧形拱桥的跨度$ |AB| = 12 $米，拱高$ |CD| = 4 $米，则拱桥的直径为(B)

A.$ 15 $米
B.$ 13 $米
C.$ 9 $米
D.$ 6.5 $米

答案：
1.B　如图，设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得|OB|² = |OD|² + |BD|²。

即r²=(r - 4)²+6²，解得r = $\frac{13}{2}$，所以拱桥的直径为13米。

2. 一艘科考船在点$ O $处监测到北偏东$ 30° $方向$ 40 $海里处有一个小岛$ A $，距离小岛$ 10 $海里范围内可能存在暗礁.若以点$ O $为原点，正东、正北方向分别为$ x $轴、$ y $轴正方向建立平面直角坐标系，则暗礁所在区域边界的方程为(D)

A.$ (x + 20)^2 + (y - 20\sqrt{3})^2 = 100 $
B.$ (x - 20)^2 + (y + 20\sqrt{3})^2 = 100 $
C.$ (x + 20)^2 + (y + 20\sqrt{3})^2 = 100 $
D.$ (x - 20)^2 + (y - 20\sqrt{3})^2 = 100 $

答案： 2.D　易得暗礁所在区域边界为一个圆，过A作y轴的垂线，垂足为B(图略)，则∠AOB = 30°，
∵|OA| = 40，
∴|AB| = 20，|OB| = √(40² - 20²)=20√3，
∴暗礁所在区域边界方程为(x - 20)²+(y - 20√3)² = 100。

3. 设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用$ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4 $表示，村外一小路方程可用$ x - y + 2 = 0 $表示，则从村庄外围到小路的最短距离是$\frac{7\sqrt{2}}{2}-2$.

答案： 3. 解析：从村庄外围到小路的最短距离为圆心$(2,-3)$到直线$x - y + 2 = 0$的距离减去圆的半径$2$，
即$\frac{|2 + 3 + 2|}{\sqrt{1^{2} + (-1)^{2}}} - 2 = \frac{7\sqrt{2}}{2} - 2$。
答案：$\frac{7\sqrt{2}}{2} - 2$

4. 台风中心从$ A $地以$ 20 \ km/h $的速度向东北方向移动，离台风中心$ 30 \ km $内的地区为危险区，城市$ B $在$ A $地正东$ 40 \ km $处，则城市$ B $处于危险区的时间为$ $1$ \ h $.

答案：
4. 解析：如图，以 A 地为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，

则台风中心经过以$B(40,0)$为圆心，$30$为半径的圆内时城市$B$处于危险区，即$B$处于危险区时，台风中心在线段$MN$上，由题意知，台风路径用方程表示为$y = x$，则圆心$B(40,0)$到直线$y = x$的距离$d = \frac{|40 - 0|}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2}$，可求得$|MN| = 2\sqrt{30^{2} - (20\sqrt{2})^{2}} = 20$，所以城市$B$处于危险区的时间为$1h$。
答案：$1$