《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

[梳理导学]
经过两点$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$(其中$x_1\neq x_2$，$y_1\neq y_2$)的直线方程$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1}=\frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式。

答案： 两点式

【例1】 已知$A(-3,2)$，$B(5,-4)$，$C(0,-2)$，在$\triangle ABC$中：
(1) 求$BC$边所在的直线方程；
(2) 求$BC$边上的中线所在直线的方程。

答案： 【解】
(1)$BC$边过两点$B(5, -4), C(0, -2)$，
由两点式，得$\frac {y - (-4)} {-2 - (-4)} = \frac {x - 5} {0 - 5}$，即$2x + 5y + 10 = 0$，
故$BC$边所在的直线方程为$2x + 5y + 10 = 0$。
选择性必修第一册·数学
(2)设$BC$的中点为$M(a, b)$，
则$a = \frac {5 + 0} {2} = \frac {5} {2}, b = \frac {-4 + (-2)} {2} = -3$，
所以$M(\frac {5} {2}, -3)$，
又$BC$边的中线过点$A(-3, 2)$，
所以$\frac {y - 2} {-3 - 2} = \frac {x - (-3)} {\frac {5} {2} - (-3)}$，即$10x + 11y + 8 = 0$，
所以$BC$边上的中线所在直线的方程为$10x + 11y + 8 = 0$。

1. (1) 已知直线$l$过点$A(3,1)$，$B(2,0)$，则直线$l$的方程为$x - y - 2 = 0$。

答案：
(1)解析:过$A(3,1), B(2,0)$两点的直线方程为$\frac {y - 1} {0 - 1} = \frac {x - 3} {2 - 3}$，整理得$x - y - 2 = 0$。
答案:$x - y - 2 = 0$

(2) 已知直线经过点$A(1,0)$，$B(m,1)$，求这条直线的方程。

答案：
(2)解:由直线经过点$A(1,0), B(m,1)$，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在。
①当直线斜率不存在，即$m = 1$时，直线方程为$x = 1$;
②当直线斜率存在，即$m ≠ 1$时，利用两点式，可得直线方程为$\frac {y - 0} {1 - 0} = \frac {x - 1} {m - 1}$，
即$x - (m - 1)y - 1 = 0$。
综上可得，当$m = 1$时，直线方程为$x = 1$;
当$m ≠ 1$时，直线方程为$x - (m - 1)y - 1 = 0$。

二、直线的截距式方程
[探究导思]
问题2 若给定直线上两点$A(a,0)$，$B(0,b)$（$a\neq 0$，$b\neq 0$），你能否得出直线的方程呢？

答案： 提示$\frac {x} {a} + \frac {y} {b} = 1$

[梳理导学]
我们把方程$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$叫做直线的截距式方程，简称截距式。直线与$x$轴的交点$(a,0)$的横坐标$a$叫做直线在$x$轴上的截距，此时直线在$y$轴上的截距是$b$。

答案： 在$x$轴上的截距$b$

【例2】 求过点$A(3,4)$，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线$l$的方程。

答案： 【解】
(1)当直线$l$在两坐标轴上的截距互为相反数且不为$0$时，可设直线$l$的方程为$\frac {x} {a} + \frac {y} {-a} = 1$。又$l$过点$A(3,4)$，所以$\frac {3} {a} + \frac {4} {-a} = 1$，解得$a = -1$。
所以直线$l$的方程为$\frac {x} {-1} + \frac {y} {1} = 1$，即$x - y + 1 = 0$。
(2)当直线$l$在两坐标轴上的截距互为相反数且为$0$时，即直线$l$过原点时，设直线$l$的方程为$y = kx$，因为$l$过点$(3,4)$，所以$4 = k · 3$，解得$k = \frac {4} {3}$，直线$l$的方程为$y = \frac {4} {3}x$，即$4x - 3y = 0$。
综上，直线$l$的方程为$x - y + 1 = 0$或$4x - 3y = 0$。