《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

1. (多选)为使椭圆$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}=1$的离心率为$\frac{1}{2}$，正数$m$的值可以是()

A.$1$
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{8}{3}$
D.$\frac{3}{2}$

答案： 1.CD 当$0＜m＜2$时，焦点在x轴上，此时$a^{2}=2$，$b^{2}=m$，所以$c^{2}=a^{2}-b^{2}=2-m$
所以$e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{2-m}{2}=\frac{1}{4}$
解得$m=\frac{3}{2}$，符合题意；
当$m＞2$时，焦点在y轴上，此时$a^{2}=m$，$b^{2}=2$
所以$c^{2}=a^{2}-b^{2}=m-2$
所以$e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{m-2}{m}=\frac{1}{4}$
解得$m=\frac{8}{3}$，符合题意.
故正数m的值可以是$\frac{3}{2}$或$\frac{8}{3}$.

2. 已知椭圆$C_2$过椭圆$C_1:\frac{x^2}{14}+\frac{y^2}{9}=1$的两个焦点和短轴的两个端点，则椭圆$C_2$的离心率为()

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： 2.A 椭圆$C_1:\frac{x^{2}}{14}+\frac{y^{2}}{9}=1$的焦点为$(\pm\sqrt{5},0)$，短轴的两个端点为$(0,\pm3)$，
由题意可得椭圆$C_2:a=3$，$b=\sqrt{5}$
可得$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=2$，即离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$.

3. 曲线$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$与$\frac{x^2}{9-k}+\frac{y^2}{25-k}=1(0＜k＜9)$的关系是()

A.有相等的焦距，相同的焦点
B.有相等的焦距，不同的焦点
C.有不等的焦距，不同的焦点
D.以上都不对

答案： 3.B 曲线$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的焦距为$2c=8$，而曲线$\frac{x^{2}}{9-k}+\frac{y^{2}}{25-k}=1(0＜k＜9)$表示的椭圆的焦距也是8，但焦点所在的坐标轴不同

4. 与椭圆$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1$有相同的离心率且长轴长与$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{3}=1$的长轴长相等的椭圆的标准方程为。

答案： 4.解析:椭圆$\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{3}=1$的离心率为$e=\frac{1}{2}$，椭圆$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{3}=1$的长轴长为$4\sqrt{2}$
所以$\begin{cases}\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\2a=4\sqrt{2}\end{cases}$，解得$a=2\sqrt{2}$，$c=\sqrt{2}$，故$b^{2}=a^{2}-c^{2}=6$.
又因为所求椭圆焦点既可在x轴上，也可在y轴上，故方程为$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{6}=1$或$\frac{y^{2}}{8}+\frac{x^{2}}{6}=1$.
答案:$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{6}=1$或$\frac{y^{2}}{8}+\frac{x^{2}}{6}=1$

【例1】 (多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点$ P $变轨进入以月球球心$ F $为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在$ P $点第二次变轨进入仍以$ F $为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用$ 2c_1 $和$ 2c_2 $分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用$ 2a_1 $和$ 2a_2 $分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是(BD)

A. $ a_1 + c_1 = a_2 + c_2 $
B. $ a_1 - c_1 = a_2 - c_2 $
C. $ \frac{c_1}{a_1} ＜ \frac{c_2}{a_2} $
D. $ \frac{c_1}{a_1} ＞ \frac{c_2}{a_2} $

答案： 【例1】【解析】由题图可知，$a_1＞a_2$，$c_1＞c_2$，所以$a_1+c_1$＞$a_2+c_2$，所以A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中可得，$a_1-c_1=|PF|$，
在椭圆轨道Ⅱ中可得，$|PF|=a_2-c_2$，
所以$a_1-c_1=a_2-c_2$，所以B正确；
$a_1+c_2=a_2+c_1$，两边同时平方得，$a_1^2+c_2^2+2a_1c_2=a_2^2+c_1^2+2a_2c_1$，
所以$a_1^2-c_1^2+2a_1c_2=a_2^2-c_2^2+2a_2c_1$，
即$b_1^2+2a_1c_2=b_2^2+2a_2c_1$，由图可得，$b_1^2＞b_2^2$，
所以$2a_1c_2＜2a_2c_1$，$\frac{c_2}{a_2}＜\frac{c_1}{a_1}$，所以C错误，D正确.
【答案】BD