《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

二、求空间点的坐标
[探究导思]
问题 空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标有什么特点？

答案： 提示
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式$(x,0,0)$ $(0,y,0)$ $(0,0,z)$
点的位置$O_{xy}$平面内$O_{yz}$平面内$O_{zx}$平面内
坐标的形式$(x,y,0)$ $(0,y,z)$ $(x,0,z)$

[梳理导学]

在空间直角坐标系$ Oxyz $中，$\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}$为坐标向量，对空间任意一点$ A $，对应一个向量$\overrightarrow{OA}$，且点$ A $的位置由向量$\overrightarrow{OA}$唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组$(x,y,z)$，使$\overrightarrow{OA} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}$。在单位正交基底$\{ \boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}$下与向量$\overrightarrow{OA}$对应的有序实数组$\boldsymbol{(x,y,z)}$，叫做点$$$(x,y,z)$$A $在空间直角坐标系中的坐标，记作$ A(x,y,z) $，其中$ x $叫做点$ A $的横坐标，$$横坐标$y$纵坐标$$叫做点$ A $的纵坐标，$$竖坐标$z $叫做点$ A $的竖坐标。

答案： $(x,y,z)$ 横坐标 纵坐标 竖坐标

【例1】 (1)如图所示，在正四棱柱$ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $中，$ O,O_1 $分别为底面$ ABCD $，底面$ A_1B_1C_1D_1 $的中心，$ AB = 6 $，$ AA_1 = 4 $，$ M $为$ B_1B $的中点，点$ N $在$ C_1C $上，且$ C_1N:NC = 1:3 $。

① 以$ O $为原点，分别以$ OA,OB,OO_1 $所在直线为$ x $轴、$ y $轴、$ z $轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标；
② 以$ D $为原点，分别以$ DA,DC,DD_1 $所在直线为$ x $轴、$ y $轴、$ z $轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标。
(2) 已知正四棱锥$ P - ABCD $的底面边长为$ 4 $，侧棱长为$ 10 $，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。

答案：

(1)①在正方形ABCD中，$AB = 6$，
$\therefore AC = BD = 6\sqrt{2}$，从而$OA = OC = OB = OD = 3\sqrt{2}$
$\therefore$各点坐标分别为$A(3\sqrt{2},0,0)$，$B(0,3\sqrt{2},0)$，$C(-3\sqrt{2},0,0)$，$D(0,-3\sqrt{2},0)$，$O_1(0,0,0)$，$O_2(0,0,4)$，$A_1(3\sqrt{2},0,4)$，$B_1(0,3\sqrt{2},4)$，$C_1(-3\sqrt{2},0,4)$，$D_1(0,-3\sqrt{2},4)$，$M(0,3\sqrt{2},2)$，$N(-3\sqrt{2},0,3)$.
②同理，$A(6,0,0)$，$B(6,6,0)$，$C(0,6,0)$，$D(0,0,0)$，$A_1(6,0,4)$，$B_1(6,6,4)$，$C_1(0,6,4)$，$D_1(0,0,4)$，$O(3,3,0)$，$O_1(3,3,4)$，$M(6,6,2)$，$N(0,6,3)$.
(2)$\because$正四棱锥P - ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，
$\therefore$正四棱锥的高为$2\sqrt{23}$.
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为$A(2,-2,0)$，$B(2,2,0)$，$C(-2,2,0)$，$D(-2,-2,0)$，$P(0,0,2\sqrt{23})$.

答案不唯一.

1. 如图所示的空间直角坐标系中，$ ABCD $是正方形，$ AB = 2 $，$ PA = 4 $，则$ PD $的中点$ M $的坐标为$(-\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{14}}{2})$。

答案： 解析：由题意知
$PO=\sqrt{PA^{2}-OA^{2}}$
$=\sqrt{PA^{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2}AB)^{2}}=\sqrt{14}$
点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为$M_1$、$O$、$M_2$，它们在坐标轴上的坐标分别为$-\frac{\sqrt{2}}{2}$、$0$、$\frac{\sqrt{14}}{2}$，所以点M的坐标为$(-\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{14}}{2})$.
答案：$(-\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{14}}{2})$

【例2】 在空间直角坐标系中，已知点$ P(-2,1,4) $。
(1) 求点$ P $关于$ x $轴对称的点的坐标；
(2) 求点$ P $关于$ Oxy $平面对称的点的坐标；
(3) 求点$ P $关于点$ M(2,-1,-4) $对称的点的坐标。

答案：
(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为$P_1(-2,-1,-4)$.
(2)由点P关于$O_{xy}$平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为$P_2(-2,1,-4)$.
(3)设对称点为$P_3(x,y,z)$，则点M为线段$PP_3$的中点，由中点坐标公式，可得$x = 2×2-(-2)=6$，
$y = 2×(-1)-1=-3$，$z = 2×(-4)-4=-12$，
所以$P_3$的坐标为$(6,-3,-12)$.

2. (多选)在空间直角坐标系中，已知点$ P(x,y,z) $，则下列说法不正确的是$\boldsymbol{$ABC$}$

A.点$ P $关于$ x $轴的对称点坐标是$(x,-y,z)$
B.点$ P $关于$ Oyz $平面的对称点坐标是$(x,-y,-z)$
C.点$ P $关于$ y $轴的对称点坐标是$(x,-y,z)$
D.点$ P $关于原点的对称点坐标是$(-x,-y,-z)$

答案： ABC 对于选项A，点$P(x,y,z)$关于x轴的对称点坐标是$(x,-y,-z)$，所以A不正确；
对于选项B，点$P(x,y,z)$关于$O_{yz}$平面的对称点坐标是$(-x,y,z)$，所以B不正确；
对于选项C，点P关于y轴的对称点坐标是$(-x,y,-z)$，所以C不正确；
对于选项D，点P关于原点的对称点坐标是$(-x,-y,-z)$，所以D正确.故选ABC.