《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

【例3】 已知$ P $为椭圆$ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1 $上一点,$ F_1,F_2 $分别是椭圆的左、右焦点,$ \angle F_1PF_2=60° $,求$ \triangle F_1PF_2 $的面积.

答案： 【例3】【解】由已知得$a=2\sqrt{3}$，$b=\sqrt{3}$，
所以$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{12-3}=3$，
从而$\vert F_{1}F_{2}\vert=2c=6$，
在$\triangle F_{1}PF_{2}$中，
$\vert F_{1}F_{2}\vert^{2}=\vert PF_{1}\vert^{2}+\vert PF_{2}\vert^{2}-2\vert PF_{1}\vert·\vert PF_{2}\vert\cos60^{\circ}$，
即$36=\vert PF_{1}\vert^{2}+\vert PF_{2}\vert^{2}-\vert PF_{1}\vert·\vert PF_{2}\vert$.①
由椭圆的定义得$\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert=4\sqrt{3}$，
即$48=\vert PF_{1}\vert^{2}+\vert PF_{2}\vert^{2}+2\vert PF_{1}\vert·\vert PF_{2}\vert$.②
由①②得$\vert PF_{1}\vert·\vert PF_{2}\vert=4$.
所以$S_{\triangle F_{1}PF_{2}}=\frac{1}{2}\vert PF_{1}\vert·\vert PF_{2}\vert·\sin60^{\circ}=\sqrt{3}$.

3. (链接教材$ P109 $练习3)如图所示,已知过椭圆$ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 $的右焦点$ F_2 $的直线$ AB $交椭圆于$ A,B $两点,$ F_1 $是椭圆的左焦点.若$ |F_1A|+|F_1B|=14 $,则弦$ AB $的长为6.

答案： 3.解析：由椭圆方程$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$可得$a=5$，
故由椭圆定义有$\vert AF_{1}\vert+\vert AF_{2}\vert=2a=10$，$\vert BF_{1}\vert+\vert BF_{2}\vert=2a=10$，
又$\vert AF_{2}\vert+\vert BF_{2}\vert=\vert AB\vert$，
所以$\vert AB\vert=(\vert AF_{1}\vert+\vert AF_{2}\vert+\vert BF_{1}\vert+\vert BF_{2}\vert)-(\vert F_{1}A\vert+\vert F_{1}B\vert)=20-14=6$.
答案：6

1. 若方程$ \frac{x^2}{25-m}+\frac{y^2}{m+9}=1 $表示椭圆,则实数$ m $的取值范围是(B)

A.$ (-9,25) $
B.$ (-9,8)\cup(8,25) $
C.$ (8,25) $
D.$ (8,+\infty) $

答案： 1.B 依题意有$\begin{cases}25-m＞0\\m+9＞0\\m+9\neq25-m\end{cases}$，
解得$-9＜m＜8$或$8＜m＜25$，
即实数$m$的取值范围是$(-9,8)\cup(8,25)$，故选B.

2. 椭圆的两个焦点坐标分别为$ F_1(0,-8),F_2(0,8) $,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为(C)

A.$ \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1 $
B.$ \frac{y^2}{400}+\frac{x^2}{336}=1 $
C.$ \frac{y^2}{100}+\frac{x^2}{36}=1 $
D.$ \frac{y^2}{20}+\frac{x^2}{12}=1 $

答案： 2.C 由条件知，焦点在$y$轴上，且$a=10$，$c=8$，
所以$b^{2}=a^{2}-c^{2}=36$，
所以椭圆的标准方程为$\frac{y^{2}}{100}+\frac{x^{2}}{36}=1$.

3. 已知$ F_1,F_2 $是椭圆$ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 $的两焦点,过点$ F_2 $的直线交椭圆于$ A,B $两点,若$ |AB|=5 $,则$ |AF_1|+|BF_1| $等于(C)

A.9
B.10
C.11
D.12

答案： 3.C 根据椭圆定义，$\vert AF_{1}\vert+\vert AF_{2}\vert=2a=8$，$\vert BF_{1}\vert+\vert BF_{2}\vert=2a=8$，
所以$\triangle AF_{1}B$的周长为$\vert AF_{1}\vert+\vert BF_{1}\vert+\vert AB\vert=16$，
所以$\vert AF_{1}\vert+\vert BF_{1}\vert=16-\vert AB\vert=11$.

4. 已知椭圆$ C:\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1 $的左焦点为$ F $,$ A,B $是$ C $上关于原点对称的两点,且$ \angle AFB=90° $,则$ \triangle ABF $的周长为14.

答案：
4.解析：设椭圆的右焦点为$F_{1}$，连接$AF_{1}$，$BF_{1}$，

根据椭圆的对称性可得$\angle AF_{1}B=90^{\circ}$，即四边形$AFBF_{1}$为矩形，
所以$\vert BF\vert=\vert AF_{1}\vert$，$\vert AB\vert=\vert FF_{1}\vert=2c=2\sqrt{16-7}=6$，由椭圆的定义可得$\vert AF\vert+\vert AF_{1}\vert=2a=8$，所以$\vert AF\vert+\vert BF\vert=8$，
所以$\triangle ABF$的周长为$\vert AF\vert+\vert BF\vert+\vert AB\vert=6+8=14$.
答案：14