《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

一、圆的标准方程
[探究导思]
问题1 圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
问题2 已知圆心为$ A(a,b) $，半径为$ r $，你能推导出圆的方程吗？

答案：
探究导思
问题1 提示 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径。
确定圆的因素：圆心和半径，
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
问题2 提示 设圆上任一点$M(x,y)$，则$|MA|=r$，由两点间的距离公式，得$\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}=r$，
两边平方，得$(x - a)^2 + (y - b)^2=r^2$。

[梳理导学]
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径.

答案： 梳理导学
$(x - a)^2 + (y - b)^2=r^2$ $x^2 + y^2=r^2$

【例1】
(1) 若某圆的标准方程为$ (x - 1)^2 + (y + 5)^2 = 3 $，则此圆的圆心和半径分别为(B)
A. $ (-1, 5) $，$ \sqrt{3} $
B. $ (1, -5) $，$ \sqrt{3} $
C. $ (-1, 5) $，$ 3 $
D. $ (1, -5) $，$ 3 $
(2) 与$ y $轴相切，且圆心坐标为$ (-5, -3) $的圆的标准方程为_.
(3) 以两点$ A(-3, -1) $和$ B(5, 5) $为直径端点的圆的标准方程是_.

答案： 【例1】
(1)【解析】 由圆的标准方程可知，
圆心为$(1,-5)$，半径为$\sqrt{3}$。
【答案】 B
(2)【解析】 $\because$圆心坐标为$(-5,-3)$，又与$y$轴相切，$\therefore$该圆的半径为$5$，
$\therefore$该圆的标准方程为$(x + 5)^2 + (y + 3)^2=25$。
【答案】 $(x + 5)^2 + (y + 3)^2=25$
(3)【解析】 $\because AB$为直径，
$\therefore AB$的中点$(1,2)$为圆心，$\frac{1}{2}|AB|=\frac{1}{2}\sqrt{(5 + 3)^2 + (5 + 1)^2}=5$为半径，
$\therefore$该圆的标准方程为$(x - 1)^2 + (y - 2)^2=25$。
【答案】 $(x - 1)^2 + (y - 2)^2=25$

1. 求满足下列条件的圆的标准方程：
(1) 圆心是$ (4, 0) $，且过点$ (2, 2) $；
(2) 圆心在$ y $轴上，半径为$ 5 $，且过点$ (3, -4) $.

答案： 1.解：
(1)$r^2=(2 - 4)^2 + (2 - 0)^2=8$，
$\therefore$圆的标准方程为$(x - 4)^2 + y^2=8$。
(2)设圆心为$C(0,b)$，则$(3 - 0)^2 + (-4 - b)^2=5^2$，
$\therefore b=0$或$b=-8$，$\therefore$圆心为$(0,0)$或$(0,-8)$，
又$r=5$，
$\therefore$圆的标准方程为$x^2 + y^2=25$或$x^2 + (y + 8)^2=25$。

二、点与圆的位置关系
[探究导思]
问题3 点$ M_0(x_0, y_0) $在圆$ x^2 + y^2 = r^2 $内的条件是什么？在圆$ x^2 + y^2 = r^2 $外的条件又是什么？

答案： 探究导思
问题3 提示 点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径。