《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

一、点到直线的距离
[探究导思]

问题1 如图,已知直线$ l $的单位方向向量为$ \boldsymbol{u} $,$ A $是直线$ l $上的定点,$ P $是直线$ l $外一点.如何利用这些条件求点$ P $到直线$ l $的距离?
问题2 类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行直线之间的距离?

答案： 问题1　提示　设$\overrightarrow{AP}=\boldsymbol{a}$，则向量$\overrightarrow{AP}$在直线$l$上的投影向量$\overrightarrow{AQ}=(\boldsymbol{a}·\boldsymbol{u})\boldsymbol{u}$.在$Rt\triangle APQ$中，由勾股定理，得点$P$到直线$l$的距离为$PQ=\sqrt{|\overrightarrow{AP}|^{2}-|\overrightarrow{AQ}|^{2}}=\sqrt{\boldsymbol{a}^{2}-(\boldsymbol{a}·\boldsymbol{u})^{2}}$.
问题2　提示　在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离.

【例1】 在长方体$ OABC - O_1A_1B_1C_1 $中,$ OA = 2 $,$ AB = 3 $,$ AA_1 = 2 $,求$ O_1 $到直线$ AC $的距离.

答案：
【例1】　[解]　方法一:连接$AO_1$，建立如图所示的空间直角坐标系，
　　　　　　　　
　则$A(2,0,0)$，$O_1(0,0,2)$，$C(0,3,0)$，
　$\therefore\overrightarrow{AO_1}=(-2,0,2)$，$\overrightarrow{AC}=(-2,3,0)$，
　$\therefore\overrightarrow{AO_1}·\overrightarrow{AC}=(-2,0,2)·(-2,3,0)=4$，
　取$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{AO_1}=(-2,0,2)$，
　$\boldsymbol{u}=\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\left(\frac{-2}{\sqrt{13}},\frac{3}{\sqrt{13}},0\right)$，
　$\therefore\boldsymbol{a}·\boldsymbol{u}=\frac{4}{\sqrt{13}}$，
　$\therefore O_1$到直线$AC$的距离
　$d=\sqrt{\boldsymbol{a}^{2}-(\boldsymbol{a}·\boldsymbol{u})^{2}}=\frac{2\sqrt{286}}{13}$.
　方法二:建立如图所示的空间直角坐标系，则$A(2,0,0)$，$O_1(0,0,2)$，$C(0,3,0)$，过$O_1$作$O_1D\perp AC$于点$D$，设$D(x,y,0)$，则$\overrightarrow{O_1D}=(x,y,-2)$，$\overrightarrow{AD}=(x-2,y,0)$.
　　　　　　　　
　$\because\overrightarrow{AC}=(-2,3,0)$，$\overrightarrow{O_1D}\perp\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AD}//\overrightarrow{AC}$，
　$\therefore\begin{cases}-2x+3y=0,\frac{x-2}{-2}=\frac{y}{3},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{18}{13},\\y=\frac{12}{13}.\end{cases}$
　$\therefore D\left(\frac{18}{13},\frac{12}{13},0\right)$，
　$\therefore|\overrightarrow{O_1D}|=\sqrt{\left(\frac{18}{13}\right)^{2}+\left(\frac{12}{13}\right)^{2}+(-2)^{2}}=\frac{2\sqrt{286}}{13}$.
　即$O_1$到直线$AC$的距离为$\frac{2\sqrt{286}}{13}$.

1. 如图,$ P $为矩形$ ABCD $所在平面外一点,$ PA \perp $平面$ ABCD $,若已知$ AB = 3 $,$ AD = 4 $,$ PA = 1 $,求点$ P $到$ BD $的距离.

答案：
1.解:如图,分别以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AP}$所在直线为$x$，$y$，$z$轴正方向建立空间直角坐标系，
　　　　　　　　
　则$P(0,0,1)$，$B(3,0,0)$，$D(0,4,0)$，
　所以$\overrightarrow{PB}=(3,0,-1)$，
　$\overrightarrow{BD}=(-3,4,0)$，
　取$\boldsymbol{a}=\overrightarrow{PB}=(3,0,-1)$，$\boldsymbol{u}=\frac{\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BD}|}=\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5},0\right)$，
　则$\boldsymbol{a}^{2}=10$，$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{u}=-\frac{9}{5}$，
　所以点$P$到$BD$的距离为$\sqrt{\boldsymbol{a}^{2}-(\boldsymbol{a}·\boldsymbol{u})^{2}}=\sqrt{10-\frac{81}{25}}=\frac{13}{5}$.