《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

一、直线与圆的位置关系的判断
[探究导思]
问题 如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？

答案： 问题　提示　转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解.

[梳理导学]

答案： 梳理导学 $2$ $1$ $0$ $d＜r$ $d=r$ $d＞r$ $\Delta＞0$ $\Delta=0$ $\Delta＜0$

【例1】 已知直线方程$ mx - y - m - 1 = 0 $,圆的方程$ x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0 $.当$ m $为何值时,圆与直线:
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点.

答案： [例1]　[解]　方法一:将直线$mx - y - m - 1 = 0$代入圆的方程化简整理得，
$(1 + m^{2})x^{2} - 2(m^{2} + 2m + 2)x + m^{2} + 4m + 4 = 0$.则$\Delta = 4m(3m + 4)$.
(1)当$\Delta＞0$，即$m＞0$或$m＜-\frac{4}{3}$时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点.
(2)当$\Delta = 0$，即$m = 0$或$m = -\frac{4}{3}$时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点.
(3)当$\Delta＜0$，即$-\frac{4}{3}＜m＜0$时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.
方法二:已知圆的方程可化为$(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$，
即圆心为$C(2,1)$，半径$r = 2$.
圆心$C(2,1)$到直线$mx - y - m - 1 = 0$的距离
$d=\frac{|2m - 1 - m - 1|}{\sqrt{1 + m^{2}}}=\frac{|m - 2|}{\sqrt{1 + m^{2}}}$
(1)当$d＜2$，即$m＞0$或$m＜-\frac{4}{3}$时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点.
(2)当$d = 2$，即$m = 0$或$m = -\frac{4}{3}$时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点.
(3)当$d＞2$，即$-\frac{4}{3}＜m＜0$时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.

1. (1)设$ m ＞ 0 $,则直线$ l:\sqrt{2}(x + y) + 1 + m = 0 $与圆$ O:x^2 + y^2 = m $的位置关系为(C)

A.相切
B.相交
C.相切或相离
D.相交或相切

答案： 1.
(1)C　圆心到直线$l$的距离为$d=\frac{1 + m}{2}$，圆的半径为$r=\sqrt{m}$，$\because d - r=\frac{1 + m}{2}-\sqrt{m}=\frac{1}{2}(m - 2\sqrt{m} + 1)=\frac{1}{2}(\sqrt{m} - 1)^{2}\geqslant0$，$\therefore d\geqslant r$，故直线$l$和圆$O$相切或相离.

(2)若直线$ x - y = 0 $与圆$ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = m $相离,则实数$ m $的取值范围是(C)

A.$ (0, 2] $
B.$ (1, 2] $
C.$ (0, 2) $
D.$ (1, 2) $

答案：
(2)C　由题意得，圆心到直线的距离为$d=\frac{|1 + 1|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}＞\sqrt{m}$，
$\therefore m＜2$，$\because m＞0$，$\therefore0＜m＜2$.

【例2】 求直线$ x - \sqrt{3}y + 2\sqrt{3} = 0 $被圆$ x^2 + y^2 = 4 $截得的弦长.

答案：
[例2][解]　方法一:直线$x - \sqrt{3}y + 2\sqrt{3} = 0$和圆$x^{2}+y^{2}=4$的公共点坐标就是方程组
$\begin{cases}x - \sqrt{3}y + 2\sqrt{3} = 0\\x^{2}+y^{2}=4\end{cases}$的解.
解这个方程组，得$\begin{cases}x_{1}=-\sqrt{3}\\y_{1}=1\end{cases}$，$\begin{cases}x_{2}=0\\y_{2}=2\end{cases}$
所以公共点的坐标为$(-\sqrt{3},1)$，$(0,2)$，
所以直线$x - \sqrt{3}y + 2\sqrt{3} = 0$被圆$x^{2}+y^{2}=4$截得的弦长为$\sqrt{(-\sqrt{3}-0)^{2}+(1 - 2)^{2}} = 2$.
方法二:如图，设直线$x - \sqrt{3}y + 2\sqrt{3} = 0$与圆$x^{2}+y^{2}=4$交于$A$，$B$两点，弦$AB$的中点为$M$，则$OM\perp AB$（$O$为坐标原点），
又$|OM|=\frac{|0 - 0 + 2\sqrt{3}|}{\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}}=\sqrt{3}$，
所以$|AB| = 2|AM| = 2\sqrt{|OA|^{2}-|OM|^{2}}$
$=2\sqrt{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}} = 2$.

2. (1)过点$ (3, 1) $作圆$ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4 $的弦,其中最短弦的长为$2\sqrt{2}$ .

答案： 2.
(1)解析:设点$A(3,1)$，易知圆心$C(2,2)$，半径$r = 2$.
当弦过点$A(3,1)$且与$CA$垂直时为最短弦，
$\because|CA|=\sqrt{(2 - 3)^{2}+(2 - 1)^{2}}=\sqrt{2}$
$\therefore$半弦长为$\sqrt{r^{2}-|CA|^{2}}=\sqrt{4 - 2}=\sqrt{2}$
$\therefore$最短弦的长为$2\sqrt{2}$
答案:$2\sqrt{2}$