《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

二、直线的斜截式方程
[探究导思]
问题2 直线$ l $上给定一个点$ P_0(0,b) $和斜率$ k $,求直线$ l $的方程.

答案： 探究导思
问题2 提示 由$y - b = k(x - 0)$得$y = kx + b$.

[梳理导学]
1. 直线$ l $与$ y $轴的交点$ (0,b)$纵坐标$b$$$的$\boldsymbol{纵坐标}$叫做直线$ l $在$ y $轴上的截距.
2. 把方程$ y = kx + b $叫做直线的斜截式方程,简称斜截式.

答案： 梳理导学
1.纵坐标$b$

【例2】 已知直线$ l_1 $的方程为$ y = -2x + 3 $,$ l_2 $的方程为$ y = 4x - 2 $,直线$ l $与$ l_1 $平行且与$ l_2 $在$ y $轴上的截距相同,求直线$ l $的方程.

答案： 典题导练
【例2】【解】 由斜截式方程知，直线$l_1$的斜率$k_1 = -2$，
又因为$l // l_1$，所以$k = -2$.
由题意知，$l_2$在$y$轴上的截距为$-2$，
所以直线$l$在$y$轴上的截距$b = -2$.
由斜截式可得直线$l$的方程为$y = -2x - 2$.

2. (1)已知直线$ l $的倾斜角为$ 60° $,且在$ y $轴上的截距为$ -2 $,则此直线的方程为(D)

A.$ y = \sqrt{3}x + 2 $
B.$ y = -\sqrt{3}x + 2 $
C.$ x = -\sqrt{3}x - 2 $
D.$ y = \sqrt{3}x - 2 $

答案： 跟踪训练
2.
(1)D 设直线$l$的倾斜角为$\alpha$，则$\alpha = 60°$，
$\therefore k = \tan 60° = \sqrt{3}$，
$\therefore$直线$l$的方程为$y = \sqrt{3}x - 2$.

(2)已知斜率为$ -\frac{4}{3} $的直线$ l $与两坐标轴围成的三角形面积为$ 6 $,求直线$ l $的方程.

答案：
(2)解：设$l: y = -\frac{4}{3}x + b$，
令$x = 0$，得$y = b$；令$y = 0$，得$x = \frac{3}{4}b$.
由题意，得$\frac{1}{2} · |b| · \frac{3}{4}b = 6$，
$\therefore b^2 = 16$，$\therefore b = \pm 4$.
故直线$l$的方程为$y = -\frac{4}{3}x \pm 4$

【例3】 (1)已知直线$ l $与直线$ y = \frac{1}{2}x + 4 $互相垂直,直线$ l $与直线$ y = x + 6 $在$ y $轴上的截距相等,则直线$ l $的方程为y = -2x + 6.
(2)已知直线$ l_1:y = -\frac{3m}{8}x + \frac{10 - 3m}{8} $和$ l_2:6my = -x + 4 $,问$ m $为何值时,$ l_1 $与$ l_2 $平行或垂直？

答案： 典题导练
【例3】
(1)【解析】 因为直线$l$与直线$y = \frac{1}{2}x + 4$垂直，
所以直线$l$的斜率$k = -2$.又因为直线$y = x + 6$在$y$轴上的截距为$6$，所以直线$l$在$y$轴上的截距为$6$，
所以直线$l$的方程为$y = -2x + 6$.
【答案】 $y = -2x + 6$
(2)【解】 当$m = 0$时，$l_1: 4y - 5 = 0$；$l_2: x - 4 = 0$，
$l_1$与$l_2$垂直；
当$m \neq 0$时，$l_2$的方程可化为$y = -\frac{1}{6m}x + \frac{2}{3m}$，
由$-\frac{3m}{8} = -\frac{1}{6m}$，得$m = \pm \frac{2}{3}$；
由$\frac{10 - 3m}{8} = \frac{2}{3m}$，得$m = \frac{2}{3}$或$m = \frac{8}{3}$；
$-\frac{3m}{8} · (-\frac{1}{6m}) = -1$无解.
故当$m = -\frac{2}{3}$时，$l_1$与$l_2$平行；
当$m = 0$时，$l_1$与$l_2$垂直.