《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

【例3】 已知$A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)$四点,若顺次连接$A,B,C,D$四点,试判定四边形$ABCD$的形状.

答案：
【解】 $A$, $B$, $C$, $D$ 四点在坐标平面内的位置如图，
由斜率公式可得
$k_{AB} = \frac{5 - 3}{2 - (-4)} = \frac{1}{3}$, $k_{CD} = \frac{0 - 3}{-3 - 6} = \frac{1}{3}$,
$k_{AD} = \frac{0 - 3}{-3 - (-4)} = -3$, $k_{BC} = \frac{3 - 5}{6 - 2} = -\frac{1}{2}$,
$\therefore k_{AB} = k_{CD}$, 由图可知 $AB$ 与 $CD$ 不重合，
$\therefore AB // CD$.
又 $k_{AB} · k_{AD} = \frac{1}{3} × (-3) = -1$,
$\therefore AB \perp AD$.
故四边形 $ABCD$ 为直角梯形.

3.(1)已知$A(1,0),B(3,2),C(0,4)$,点$D$满足$AB\perp CD$,且$AD// BC$,则点$D$的坐标为(10, -6).
(2)已知点$A(0,3),B(-1,0),C(3,0)$,求点$D$的坐标,使四边形$ABCD$为直角梯形($A,B,C,D$按逆时针方向排列).

答案：
3.
(1) 解析: 设点 $D$ 的坐标为 $(x, y)$, 由已知得直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB} = 1$, 直线 $CD$ 的斜率 $k_{CD} = \frac{y - 4}{x}$, 直线 $BC$ 的斜率 $k_{BC} = -\frac{2}{3}$, 直线 $AD$ 的斜率 $k_{AD} = \frac{y}{x - 1}$.
由 $AB \perp CD$, 且 $AD // BC$,
得 $\begin{cases} \frac{y - 4}{x} × 1 = -1, \\ -\frac{2}{3} = \frac{y}{x - 1} \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x = 10, \\ y = -6 \end{cases}$ 所以点 $D$ 的坐标为 $(10, -6)$.
答案: $(10, -6)$
(2) 解: 设所求点 $D$ 的坐标为 $(x, y)$,
如图所示，由于 $k_{AB} = 3$, $k_{BC} = 0$,

$\therefore k_{AB} · k_{BC} = 0 \neq -1$,
即 $AB$ 与 $BC$ 不垂直，
故 $AB$, $BC$ 都不可作为直角梯形的直角腰.
① 若 $CD$ 是直角梯形的直角腰，则 $BC \perp CD$, $AD \perp CD$,
$\because k_{BC} = 0$,
$\therefore CD$ 的斜率不存在，从而有 $x = 3$.
又 $k_{AD} = k_{BC}$,
$\therefore \frac{y - 3}{3} = 0$, 即 $y = 3$, 此时 $AB$ 与 $CD$ 不平行，
故所求点 $D$ 的坐标为 $(3, 3)$.
② 若 $AD$ 是直角梯形的直角腰，则 $AD \perp AB$, $AD \perp CD$,
$\because k_{AD} = \frac{y - 3}{x}$, $k_{CD} = \frac{y}{x - 3}$,
$\therefore \begin{cases} \frac{y - 3}{x} · 3 = -1, \\ \frac{y}{x - 3} · \frac{y - 3}{x} = -1 \end{cases}$
解得 $x = \frac{18}{5}$, $y = \frac{9}{5}$,
$\therefore D$ 点坐标为 $(\frac{18}{5}, \frac{9}{5})$.
综上，$D$ 点坐标为 $(3, 3)$ 或 $(\frac{18}{5}, \frac{9}{5})$.

1.(多选)下列各对直线互相垂直的是()

A.$l_{1}$过点$M(1,1),N(1,2)$,$l_{2}$过点$P(1,5),Q(3,5)$
B.$l_{1}$的斜率为$-\frac{2}{3}$,$l_{2}$过点$P(1,1),Q(0,-\frac{1}{2})$
C.$l_{1}$的倾斜角为$30^{\circ}$,$l_{2}$过点$P(3,\sqrt{3}),Q(4,2\sqrt{3})$
D.$l_{1}$过点$M(1,0),N(4,-5)$,$l_{2}$过点$P(-6,0),Q(-1,3)$

答案： 1. ABD A中，$l_1$ 与 $x$ 轴垂直，$l_2$ 与 $x$ 轴平行，故两直线垂直；
B 中，$l_2$ 过点 $P(1, 1)$, $Q(0, -\frac{1}{2})$, $k_{PQ} = \frac{3}{2}$, $k_1 · k_{l_2} = -1$, 故两条直线垂直；
C 中，$k_{l_1} = \tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $k_{PQ} = \sqrt{3}$, $k_{l_1} · k_{l_2} = 1 \neq -1$, 故 $l_1$ 不与 $l_2$ 垂直；
D 中，$l_1$ 过点 $M(1, 0)$, $N(4, -5)$, $k_{MN} = -\frac{5}{3}$, $l_2$ 过点 $P(-6, 0)$, $Q(-1, 3)$, $k_{PQ} = \frac{3}{5}$, $k_{l_1} · k_{l_2} = -1$, 故两条直线垂直.

2.若过点$P(3,2m)$和点$Q(-m,2)$的直线与过点$M(2,-1)$和点$N(-3,4)$的直线平行,则$m$的值是()

A.$\frac{1}{3}$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$2$
D.$-2$

答案： 2. B 由题意知，$PQ$ 的斜率存在，由 $k_{PQ} = k_{MN}$,
即 $\frac{2m - 2}{3 - (-m)} = \frac{4 - (-1)}{-3 - 2}$, 得 $m = -\frac{1}{3}$.
经检验知，$m = -\frac{1}{3}$ 符合题意.

3.若直线$l_{1}$的倾斜角为$135^{\circ}$,直线$l_{2}$经过点$P(-2,-1),Q(3,-6)$,则直线$l_{1}$与$l_{2}$的位置关系是()

A.垂直
B.平行
C.重合
D.平行或重合

答案： 3. D 直线 $l_1$ 的倾斜角为 $135^{\circ}$，故斜率 $k_{l_1} = \tan 135^{\circ} = -1$.
由 $l_2$ 经过点 $P(-2, -1)$, $Q(3, -6)$,
得 $k_{l_2} = \frac{-6 - (-1)}{3 - (-2)} = -1$,
所以 $k_{l_1} = k_{l_2}$, 所以直线 $l_1$ 与 $l_2$ 平行或重合.

4.若$l_{1}$与$l_{2}$的斜率$k_{1},k_{2}$是关于$k$的方程$2k^{2}-3k-b=0$的两根,若$l_{1}\perp l_{2}$,则b=2;若$l_{1}// l_{2}$,则b=$-\frac{9}{8}$.

答案： 4. 解析: 当 $l_1 \perp l_2$ 时，$k_1k_2 = -\frac{b}{2} = -1$, 得 $b = 2$.
当 $l_1 // l_2$ 时，$k_1 = k_2$, $\Delta = 9 - 4 × 2 × (-b) = 0$,
得 $b = -\frac{9}{8}$.
答案: 2 $-\frac{9}{8}$