《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

3. 已知圆$C$关于直线$x + y + 2 = 0$对称，且过点$P(-2,2)$和原点$O$。
(1)求圆$C$的方程；
(2)相互垂直的两条直线$l_{1},l_{2}$都过点$A(-1,0)$，若$l_{1},l_{2}$被圆$C$所截得的弦长相等，求此时直线$l_{1}$的方程。

答案： 3.解：
(1)由题意知,直线 $x + y + 2 = 0$ 过圆 $C$ 的圆心,设圆心 $C(a, -a - 2)$.
由题意,得 $(a + 2)^2 + (-a - 2 - 2)^2 = a^2 + (-a - 2)^2$,
解得 $a = -2$.
因为圆心 $C(-2,0)$,半径 $r = 2$,
所以圆 $C$ 的方程为 $(x + 2)^2 + y^2 = 4$.
(2)由题意知,直线 $l_1$,$l_2$ 的斜率存在且不为 $0$,
设 $l_1$ 的斜率为 $k$,则 $l_2$ 的斜率为 $-\frac{1}{k}$,
所以 $l_1:y = k(x + 1)$,即 $kx - y + k = 0$,
$l_2:y = -\frac{1}{k}(x + 1)$,即 $x + ky + 1 = 0$.
由题意,得圆心 $C$ 到直线 $l_1$,$l_2$ 的距离相等,
所以 $\frac{|-2k + k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|-2 + 1|}{\sqrt{k^2 + 1}}$,解得 $k = \pm 1$,
所以直线 $l_1$ 的方程为 $x - y + 1 = 0$ 或 $x + y + 1 = 0$.

【例4】 已知圆$C_{1}:x^{2}+y^{2}+4x - 4y - 5 = 0$与圆$C_{2}:x^{2}+y^{2}-8x + 4y + 7 = 0$。
(1)证明圆$C_{1}$与圆$C_{2}$相切，并求过切点的两圆公切线的方程；
(2)求过点$(2,3)$且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程。

答案： 【例4】 【解】
(1)把圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 都化为标准方程形式,
得 $(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 13$,$(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 13$.
圆心与半径长分别为 $C_1(-2,2)$,$r_1 = \sqrt{13}$;
$C_2(4, -2)$,$r_2 = \sqrt{13}$;
因为 $|C_1C_2| = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (2 + 2)^2} = 2\sqrt{13} = r_1 + r_2$,
所以圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 相切.
由 $\begin{cases}x^2 + y^2 + 4x - 4y - 5 = 0, \\x^2 + y^2 - 8x + 4y + 7 = 0,\end{cases}$ 得 $3x - 2y - 3 = 0$,
即 $3x - 2y - 3 = 0$,就是过切点的两圆公切线的方程.
(2)方法一：过 $C_1$,$C_2$ 的直线方程为 $\frac{y + 2}{2 + 2} = \frac{x - 4}{-2 - 4}$,即 $2x + 3y - 2 = 0$,
联立 $\begin{cases}2x + 3y - 2 = 0, \\3x - 2y - 3 = 0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 1, \\y = 0,\end{cases}$ 则切点坐标为 $(1,0)$.
设所求圆的方程为 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$,
则 $\begin{cases}2a + 3b - 2 = 0, \\ (2 - a)^2 + (3 - b)^2 = r^2, \\ (1 - a)^2 + (0 - b)^2 = r^2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = -4, \\b = \frac{10}{3}, \\r^2 = \frac{325}{9}.\end{cases}$
所以所求圆的方程为 $(x + 4)^2 + (y - \frac{10}{3})^2 = \frac{325}{9}$,
即 $x^2 + y^2 + 8x - \frac{20}{3}y - 9 = 0$.
方法二：由圆系方程,可设所求圆的方程为 $x^2 + y^2 + 4x - 4y - 5 + \lambda(3x - 2y - 3) = 0$.
因为点 $(2,3)$ 在此圆上,将点的坐标代入方程解得 $\lambda = \frac{4}{3}$.
所以所求圆的方程为 $x^2 + y^2 + 4x - 4y - 5 + \frac{4}{3}(3x - 2y - 3) = 0$,即 $x^2 + y^2 + 8x - \frac{20}{3}y - 9 = 0$.

4. (1)已知圆$C_{1}:x^{2}+y^{2}-6x - 7 = 0$与圆$C_{2}:x^{2}+y^{2}-6y - 27 = 0$相交于$A,B$两点，则线段$AB$的中垂线方程为$x + y - 3 = 0$。

答案： 4.
(1)解析：$AB$ 的中垂线即为圆 $C_1$、圆 $C_2$ 的连心线 $C_1C_2$.
又 $C_1(3,0)$,$C_2(0,3)$,所以 $C_1C_2$ 所在直线的方程为 $x + y - 3 = 0$.
答案：$x + y - 3 = 0$

(2)已知圆$C_{1}:x^{2}+y^{2}-4x + 2y = 0$与圆$C_{2}:x^{2}+y^{2}-2y - 4 = 0$。
①求证：两圆相交；
②求两圆公共弦所在直线的方程。

答案：
(2)解：①证明：圆 $C_1$ 的方程可化为 $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5$,圆 $C_2$ 的方程可化为 $x^2 + (y - 1)^2 = 5$,
$\therefore C_1(2, -1)$,$C_2(0,1)$,两圆的半径均为 $\sqrt{5}$,
$\because |C_1C_2| = \sqrt{(2 - 0)^2 + (-1 - 1)^2} = 2\sqrt{2} ＜ 2\sqrt{5}$,
$\therefore$ 两圆相交.
②将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程,$(x^2 + y^2 - 4x + 2y) - (x^2 + y^2 - 2y - 4) = 0$,即 $x - y - 1 = 0$.