《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

(2) 将直线的方程$x - 2y + 6 = 0$作如下转换：
① 化成斜截式，并指出它们的斜率与在$y$轴上的截距；
② 化成截距式，并指出它在$x$轴、$y$轴上的截距.

答案：
(2)解：$①$将原方程移项，得$2y=x+6$，
两边同除以$2$，得斜截式方程为$y=\frac{1}{2}x+3$，
因此它的斜率$k=\frac{1}{2}$，在$y$轴上的截距为$3$．
$②$将原方程移项，得$x-2y=-6$，两边同除以$-6$，得截距式方程为$\frac{x}{-6}+\frac{y}{3}=1$．
所以直线在$x$轴、$y$轴上的截距分别为$-6,3$．

【例2】 已知直线$l$的方程为$3x + 4y - 12 = 0$，求满足下列条件的直线$l'$的方程：
(1) 过点$(-1,3)$，且与$l$平行；
(2) 过点$(-1,3)$，且与$l$垂直.

答案： 【例2】【解】方法一：$l$的方程可化为$y=-\frac{3}{4}x+3$，
$\therefore l$的斜率为$-\frac{3}{4}$．
(1)$\because l'$与$l$平行，$\therefore l'$的斜率为$-\frac{3}{4}$．
又$\because l'$过点$(-1,3)$，
$\therefore$由点斜式知方程为$y-3=-\frac{3}{4}(x+1)$，
即$3x+4y-9=0$．
(2)$\because l'$与$l$垂直，
$\therefore l'$的斜率为$\frac{4}{3}$，又$l'$过点$(-1,3)$，
$\therefore$由点斜式可得方程为$y-3=\frac{4}{3}(x+1)$，
即$4x-3y+13=0$．
方法二：
(1)由$l'$与$l$平行，可设$l'$的方程为$3x+4y+m=0(m\neq-12)$将点$(-1,3)$代入上式得$m=-9$．
$\therefore$所求直线的方程为$3x+4y-9=0$．
(2)由$l'$与$l$垂直，可设$l'$的方程为$4x-3y+n=0$．
将$(-1,3)$代入上式得$n=13$．
$\therefore$所求直线的方程为$4x-3y+13=0$．

2. 判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由.
(1) $l_1:3x + 5y - 6 = 0$，$l_2:6x + 10y + 3 = 0$；
(2) $l_1:3x - 6y + 14 = 0$，$l_2:2x + y - 2 = 0$；
(3) $l_1:x = 2$，$l_2:x = 4$；
(4) $l_1:y = -3$，$l_2:x = 1$.

答案： 2.解：
(1)方法一：将两直线方程各化为斜截式：
$l_1:y=-\frac{3}{5}x+\frac{6}{5}$，
$l_2:y=\frac{3}{5}x-\frac{3}{10}$．
则$k_1=-\frac{3}{5},b_1=\frac{6}{5};k_2=\frac{3}{5},b_2=-\frac{3}{10}$．
$\because k_1=k_2$，且$b_1\neq b_2$，
$\therefore l_1// l_2$．
方法二：$\because3×10-5×6=0$且$3×3-6×(-6)\neq0$，
$\therefore l_1// l_2$．
(2)方法一：将两直线方程各化为斜截式：
$l_1:y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{3}$，
$l_2:y=-2x+2$．
则$k_1=\frac{1}{2},k_2=-2$．
$\because k_1· k_2=-1$，
故$l_1\bot l_2$．
方法二：$\because3×2+(-6)×1=0$，
$\therefore l_1\bot l_2$．
(3)$\because l_1:x=2,l_2:x=4$，且两直线在$x$轴上的截距不相等，$\therefore l_1// l_2$．
(4)由方程知$l_1\bot y$轴，$l_2\bot x$轴，则$l_1\bot l_2$．

【例3】 设直线$l$的方程为$(m^2 - 2m - 3)x - (2m^2 + m - 1)y + 6 - 2m = 0$.
(1) 已知直线$l$在$x$轴上的截距为$-3$，求$m$的值；
(2) 已知直线$l$的斜率为$1$，求$m$的值.

答案： 【例3】【解】
(1)由题意知$m^2-2m-3\neq0$，即$m\neq3$且$m\neq-1$，令$y=0$，得$x=\frac{2m-6}{m^2-2m-3}$，
$\therefore\frac{2m-6}{m^2-2m-3}=-3$，得$m=-\frac{5}{3}$或$m=3$(舍去)．
$\therefore m=-\frac{5}{3}$．
(2)由题意知，$2m^2+m-1\neq0$，即$m\neq\frac{1}{2}$且$m\neq-1$．
由直线$l$化为斜截式方程得$y=\frac{m^2-2m-3}{2m^2+m-1}x+\frac{6-2m}{2m^2+m-1}$，
则$\frac{m^2-2m-3}{2m^2+m-1}=1$，
得$m=-2$或$m=-1$(舍去)．
$\therefore m=-2$．

3. (1) 若直线$mx + 4y - 2 = 0$与直线$2x - y + n = 0$垂直，垂足为$(1,p)$，则实数$n$的值为($A$)
A. $-2$ B. $-4$ C. $10$ D. $8$
(2) 已知直线$l$的方程为$3x + 4y - 12 = 0$，直线$l$与坐标轴交于$A,B$两点，则$\triangle AOB$的面积为$6$.
(3) 已知在$\triangle ABC$中，点$A$的坐标为$(1,3)$，$AB$，$AC$边上的中线所在直线的方程分别为$x - 2y + 1 = 0$和$y - 1 = 0$，求$\triangle ABC$各边所在直线的方程.

答案： 3.
(1)A 由已知得$\begin{cases}2m-4=0,\\m+4p-2=0,\\2-p+n=0,\end{cases}$
(2)解析：直线$l$的方程为$3x+4y-12=0$，
令$x=0$得$y=3$，
令$y=0$得$x=4$，
故令$A(4,0),B(0,3),S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}×4×3=6$．
答案：6
(3)解：设$AB,AC$边上的中线分别为$CD,BE$，其中$D,E$分别为$AB,AC$的中点，
$\because$点$B$在中线$BE:y-1=0$上，
$\therefore$设$B$点坐标为$(x,1)$．
又$\because A$点坐标为$(1,3),D$为$AB$的中点，
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$\therefore$由中点坐标公式得$D$点坐标为$(\frac{x+1}{2},2)$．
又$\because$点$D$在中线$CD:x-2y+1=0$上，
$\therefore\frac{x+1}{2}-2×2+1=0$，解得$x=5$，
$\therefore B$点坐标为$(5,1)$．
同理可求出$C$点的坐标是$(-3,-1)$．
故可求出$\triangle ABC$三边$AB,BC,AC$所在直线的方程分别为$x+2y-7=0,x-4y-1=0$和$x-y+2=0$．