《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

1. 两平行平面$ \alpha $,$ \beta $分别经过坐标原点$ O $和点$ A(2, 1, 1) $,且两平面的一个法向量$ \boldsymbol{n} = (-1, 0, 1) $,则两平面间的距离是(B)

A.$ \frac{3}{2} $
B.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $
C.$ \sqrt{3} $
D.$ 3\sqrt{2} $

答案： 1.B　$\because$两平行平面$\alpha$，$\beta$分别经过坐标原点$O$和点$A(2,1,1)$，$\overrightarrow{OA}=(2,1,1)$，且两平面的一个法向量$\boldsymbol{n}=(-1,0,1)$，
　$\therefore$两平面间的距离$d=\frac{|\boldsymbol{n}·\overrightarrow{OA}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{|-2+0+1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. 已知直线$ l $过定点$ A(2, 3, 1) $,且方向向量为$ \boldsymbol{s} = (0, 1, 1) $,则点$ P(4, 3, 2) $到$ l $的距离$ d $为(A)

A.$ \frac{3\sqrt{2}}{2} $
B.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $
C.$ \frac{\sqrt{10}}{2} $
D.$ \sqrt{2} $

答案： 2.A　$\overrightarrow{AP}=(2,0,1)$，由点到直线的距离公式得$d=\sqrt{|\overrightarrow{AP}|^{2}-\frac{(\overrightarrow{AP}·\boldsymbol{s})^{2}}{|\boldsymbol{s}|^{2}}}=\sqrt{5-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

3. 如图,已知长方体$ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $中,$ A_1A = 5 $,$ AB = 12 $,则直线$ B_1C_1 $到平面$ A_1BCD_1 $的距离是(C)

A.$ 5 $
B.$ 8 $
C.$ \frac{60}{13} $
D.$ \frac{13}{3} $

答案：
3.C　以$D$为坐标原点，$DA$，$DC$，$DD_1$的方向分别为$x$，$y$，$z$轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
　　　　　　　　　　　　　　　
　则$C(0,12,0)$，$D_1(0,0,5)$.
　设$B(x,12,0)$，$B_1(x,12,5)(x＞0)$.
　设平面$A_1BCD_1$的法向量为$\boldsymbol{n}=(a,b,c)$，
　由$\boldsymbol{n}\perp\overrightarrow{BC}$，$\boldsymbol{n}\perp\overrightarrow{CD_1}$，
　得$\boldsymbol{n}·\overrightarrow{BC}=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0$，$\boldsymbol{n}·\overrightarrow{CD_1}=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0$，
　所以$a=0$，$b=\frac{5}{12}c$，所以可取$\boldsymbol{n}=(0,5,12)$.
　又$\overrightarrow{B_1B}=(0,0,-5)$，所以点$B_1$到平面$A_1BCD_1$的距离为$\frac{|\overrightarrow{B_1B}·\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{60}{13}$.
　因为$B_1C_1//$平面$A_1BCD_1$，所以$B_1C_1$到平面$A_1BCD_1$的距离为$\frac{60}{13}$.

4. 已知正四棱柱$ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $的底面边长为$ 2 $,侧棱长为$ 4 $,$ E $为$ CD_1 $的中点,则点$ A_1 $到平面$ BDE $的距离为_.

答案：
4.解析:如图，以$D$为原点，$DA$，$DC$，$DD_1$所在直线分别为$x$，$y$，$z$轴建立空间直角坐标系，
　　　　　　　　
　则$D(0,0,0)$，$A_1(2,0,4)$，$B(2,2,0)$，$E(0,1,2)$，
　所以$\overrightarrow{DA_1}=(2,0,4)$，$\overrightarrow{DB}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{DE}=(0,1,2)$，
　设平面$BDE$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，
　则$\begin{cases}\boldsymbol{n}·\overrightarrow{DB}=2x+2y=0,\\\boldsymbol{n}·\overrightarrow{DE}=y+2z=0,\end{cases}$
　令$y=-1$，则$x=1$，$z=\frac{1}{2}$，
　即$\boldsymbol{n}=\left(1,-1,\frac{1}{2}\right)$，
　则点$A_1$到平面$BDE$的距离$d=\frac{|\overrightarrow{DA_1}·\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{4}{\sqrt{1+1+\frac{1}{4}}}=\frac{8}{3}$.
　答案:$\frac{8}{3}$

【例1】（链接教材P36例7）在三棱锥$P - ABC$中，$\triangle ABC$和$\triangle PBC$均为等边三角形，且二面角$P - BC - A$的大小为$120°$，求直线$PB$和$AC$所成角的余弦值.

答案： 5/8