《2026年学易优同步学案导学高中数学选择性必修第一册人教版》

1. 已知直线$ l_1 $的方向向量$ \boldsymbol{a}=(2,-3,5) $，直线$ l_2 $的方向向量$ \boldsymbol{b}=(-4,x,y) $，若$ \boldsymbol{a}// \boldsymbol{b} $，则$ x,y $的值分别是 A

A.$ 6 $和$ -10 $
B.$ -6 $和$ 10 $
C.$ -6 $和$ -10 $
D.$ 6 $和$ 10 $

答案： 1.$A$ 因为$a// b$，$a=(2,-3,5)$，则存在唯一的实数$\lambda$，使得$b=\lambda a$，即$(-4,x,y)=\lambda(2,-3,5)=(2\lambda,-3\lambda,5\lambda)$，所以$\begin{cases}-4=2\lambda\\x=-3\lambda\\y=5\lambda\end{cases}$，解得$\begin{cases}\lambda=-2\\x=6\\y=-10\end{cases}$，所以$x,y$的值分别是$6$和$-10$.

2. 若直线$ l $的方向向量$ \boldsymbol{a}=(1,0,2) $，平面$ \alpha $的法向量为$ \boldsymbol{n}=(-2,0,-4) $，则B

A.$ l// \alpha $
B.$ l\perp \alpha $
C.$ l\subset \alpha $
D.$ l $与$ \alpha $斜交

答案： 2.$B$ 由题知$\boldsymbol{n}=-2a$，故直线$l\perp a$，故选$B$.

3. 在菱形$ ABCD $中，若$ \overrightarrow{PA} $是平面$ ABCD $的法向量，则以下关系中可能不成立的是 C

A.$ \overrightarrow{PA}\perp \overrightarrow{AB} $
B.$ \overrightarrow{PC}\perp \overrightarrow{BD} $
C.$ \overrightarrow{PC}\perp \overrightarrow{AB} $
D.$ \overrightarrow{PA}\perp \overrightarrow{CD} $

答案： 3.$C$ $\because PA\perp$平面$ABCD$，$\therefore BD\perp PA$，$PA\cap AC=A$，$\therefore BD\perp$平面$PAC$，$\therefore PC\perp BD$，故选项$B$成立，选项$A$和$D$显然成立.

4. 已知平面$ \alpha $经过点$ O(0,0,0) $，且$ \boldsymbol{e}=(1,2,-3) $是$ \alpha $的一个法向量，$ M(x,y,z) $是平面$ \alpha $内任意一点，则$ x,y,z $满足的关系式是 $x+2y-3z=0$.

答案： 4.解析：由题意得$\boldsymbol{e}\perp\overrightarrow{OM}$，则$\overrightarrow{OM}·\boldsymbol{e}=(x,y,z)·(1,2,-3)=0$，故$x+2y-3z=0$.
答案：$x+2y-3z=0$

一、直线和直线平行
探究导思
问题1 由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？

答案： 问题1　提示　平行.

【例1】 在长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB = 3$，$AD = 4$，$AA_{1} = 2$，点$M$在棱$BB_{1}$上，且$BM = 2MB_{1}$，点$S$在棱$DD_{1}$上，且$SD_{1} = 2SD$，点$N$，$R$分别为棱$A_{1}D_{1}$，$BC$的中点。求证：$MN// RS$。

答案：
[例1]　[证明] 方法一:如图所示，建立空间直角坐标系，
根据题意得$M(3,0,\frac{4}{3}),N(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,\frac{2}{3})$。
则$\overrightarrow{MN},\overrightarrow{RS}$分别为$MN,RS$的方向向量，
又$\overrightarrow{MN}=(-3,2,\frac{2}{3}),\overrightarrow{RS}=(-3,2,\frac{2}{3})$，
所以$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{RS}$，所以$MN // RS$，因为$M\notin RS$。
方法二:设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{AA_1}=\boldsymbol{c}$，
则$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB_1}+\overrightarrow{B_1A_1}+\overrightarrow{A_1N}=\frac{1}{3}\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$，
$\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{RC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DS}=\frac{1}{2}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol{c}$。
所以$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{RS}$，
又$R\notin MN$，
所以$MN// RS$。